u oplus v doteq u v e alpha odot u doteq u^alpha
(a) Mostre que (V,+,. ) é um espaço vetorial sobre Réç.

Passo 1

Então, temos um exercício que nos pede para mostrar que é um espaço vetorial sobre . Aqui, as operações são definidas como e . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um espaço vetorial e verificar se todas as propriedades necessárias são satisfeitas com essas operações.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial sobre um campo é um conjunto junto com duas operações: adição de vetores ( ) e multiplicação por escalar ( ), que devem satisfazer certos axiomas, como comutatividade, associatividade, existência do elemento neutro, etc.

Passo 3

Vamos verificar o primeiro axioma: fechamento na adição. Precisamos mostrar que, para quaisquer , o resultado de também está em .
Dado que , e assumindo que é um conjunto de números reais positivos (para que a multiplicação faça sentido dentro do conjunto), então . Portanto, o fechamento na adição está satisfeito.

Passo 4

Agora, vamos verificar o elemento neutro da adição. Precisamos encontrar um elemento tal que para todo .
Usando a definição da adição, temos . Para que isso seja igual a , teríamos . No entanto, isso só é possível se , já que .
Então, o elemento neutro é .

Passo 5

Vamos verificar a inverso aditivo. Para cada , deve existir um tal que .
Temos . Portanto, devemos ter . Como estamos assumindo que contém apenas números reais positivos, .

Passo 6

Agora, vamos verificar a associatividade da adição. Precisamos mostrar que para todos .
Calculando ambos os lados:
Portanto, a associatividade está satisfeita.

Passo 7

Vamos verificar a comutatividade da adição: .
Como e , e a multiplicação é comutativa ( ), a comutatividade da adição é satisfeita.

Passo 8

Agora, vamos verificar a multiplicação por escalar. Precisamos mostrar que satisfaz os axiomas de multiplicação por escalar, como a distributividade em relação à adição de vetores e a associatividade com a multiplicação de escalares.
Por exemplo, para a distributividade:
E:
Portanto, a distributividade está satisfeita.

Passo 9

Finalmente, precisamos verificar que para todo .
Calculando:
Isso confirma o axioma.

Resposta

Com todas as propriedades de um espaço vetorial verificadas, podemos concluir que é, de fato, um espaço vetorial sobre .

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Assinale V ou F
Temos a seguinte sequência de subgrupos:
(Q *,+)<(R *,+)<(C *,+)
Escolha uma opção:
Verdadeiro
Falso
© Determine uma base e a dimensão do espaço vetorial real (V,+,.$) .
Considere os seguintes subespaços vetorias do espaço vetorial real (R^3,+, cdot) :
S doteq[(1,-1,2),(2,1,1)], & T doteq[(0,1,-1),(1,2,1)] U doteq(x, y, z) ; x+y=4 x-z=0 & e V doteq(x, y, z) ; 3 x-y-z=0
Determine bases e as dimensões dos seguintes subespaços vetoriais do espaço vetorial real (R^3,+, cdot) :
Ache uma base e a dimensão do subespaço vetorial W do espaço vetorial real (mathscrP(R),+, cdot), que é gerado pelos seguintes polinômios: