(a) Mostre que
.
.
Passo 1
Então, temos um exercício que nos pede para mostrar que
é um espaço vetorial sobre
. Aqui, as operações são definidas como
e
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um espaço vetorial e verificar se todas as propriedades necessárias são satisfeitas com essas operações.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial sobre um campo
é um conjunto
junto com duas operações: adição de vetores (
) e multiplicação por escalar (
), que devem satisfazer certos axiomas, como comutatividade, associatividade, existência do elemento neutro, etc.
Passo 3
Vamos verificar o primeiro axioma: fechamento na adição. Precisamos mostrar que, para quaisquer
, o resultado de
também está em
.
Dado que
, e assumindo que
é um conjunto de números reais positivos (para que a multiplicação faça sentido dentro do conjunto), então
. Portanto, o fechamento na adição está satisfeito.
Passo 4
Agora, vamos verificar o elemento neutro da adição. Precisamos encontrar um elemento
tal que
para todo
.
Usando a definição da adição, temos
. Para que isso seja igual a
, teríamos
. No entanto, isso só é possível se
, já que
.
Então, o elemento neutro é
.
Passo 5
Vamos verificar a inverso aditivo. Para cada
, deve existir um
tal que
.
Temos
. Portanto, devemos ter
. Como estamos assumindo que
contém apenas números reais positivos,
.
Passo 6
Agora, vamos verificar a associatividade da adição. Precisamos mostrar que
para todos
.
Calculando ambos os lados:
Portanto, a associatividade está satisfeita.
Passo 7
Vamos verificar a comutatividade da adição:
.
Como
e
, e a multiplicação é comutativa (
), a comutatividade da adição é satisfeita.
Passo 8
Agora, vamos verificar a multiplicação por escalar. Precisamos mostrar que
satisfaz os axiomas de multiplicação por escalar, como a distributividade em relação à adição de vetores e a associatividade com a multiplicação de escalares.
Por exemplo, para a distributividade:
E:
Portanto, a distributividade está satisfeita.
Passo 9
Finalmente, precisamos verificar que
para todo
.
Calculando:
Isso confirma o axioma.
Resposta
Com todas as propriedades de um espaço vetorial verificadas, podemos concluir que
é, de fato, um espaço vetorial sobre
.
Exercícios relacionados
Assinale V ou F
Temos a seguinte sequência de subgrupos:
Temos a seguinte sequência de subgrupos:
Escolha uma opção:
Verdadeiro
Falso
Verdadeiro
Falso
© Determine uma base e a dimensão do espaço vetorial real
.$) .
Considere os seguintes subespaços vetorias do espaço vetorial real
:
Determine bases e as dimensões dos seguintes subespaços vetoriais do espaço vetorial real
:
Ache uma base e a dimensão do subespaço vetorial
do espaço vetorial real
, que é gerado pelos seguintes polinômios: