Verifique o teorema da divergência de Gauss no plano e o teorema de Stokes no plano para
D dados.
e
é a região limitada pela circunferência
.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver o exercício que pede para verificar o Teorema da Divergência de Gauss e o Teorema de Stokes no plano para o campo vetorial
e a região
limitada pela circunferência
.
Conteúdo envolvido: Teoremas de cálculo vetorial aplicados a campos vetoriais em duas dimensões, especificamente no plano.
O que precisamos: Entender como aplicar o Teorema da Divergência de Gauss e o Teorema de Stokes em 2D, calcular integrais de superfície e de linha para verificar se os teoremas são válidos para o campo e a região dados.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar os teoremas que vamos verificar.
-
Teorema da Divergência de Gauss (em 2D): Relaciona a integral da divergência de um campo vetorial sobre uma região
com a integral de fluxo do campo ao longo da fronteira de . Ondeé a divergência de e é o vetor normal à fronteira. -
Teorema de Stokes (em 2D): Em 2D, o teorema de Stokes se relaciona à circulação do campo vetorial ao longo da fronteira com o rotacional do campo sobre a região.Onde
é o rotacional de .
Passo 3
Vamos calcular a divergência e o rotacional do campo vetorial
.
-
Divergência:
-
Rotacional:Em 2D, o rotacional de
é dado por:
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral da divergência sobre a região
e a integral de fluxo na fronteira
para verificar o Teorema da Divergência.
-
Integral da divergência sobre
: Como a divergência é constante (5), a integral sobre a regiãoé: A área de, que é o círculo de raio 1, é , então: -
Integral de fluxo na fronteira
: A fronteira é o círculo. Em coordenadas polares, podemos parametrizar a curva como: O vetor normal para a fronteira apontando para fora é simplesmente. O campona fronteira é: O produto escalaré: A integral de fluxo é então:(Aqui,porque o raio é 1). Calculando:
Passo 5
Vamos verificar agora o Teorema de Stokes.
-
Integral de circulação na fronteira
: Usando a mesma parametrização em coordenadas polares:O campoé: O produto escalar é:A integral de circulação é então:Essa integral resulta em zero, pois é uma função ímpar sobre o intervalo. -
Integral do rotacional sobre
: Como o rotacional deé zero:
Resposta
Ambos os teoremas são verificados corretamente para o campo vetorial dado:
- Teorema da Divergência de Gauss:
- Teorema de Stokes:
Exercícios relacionados
Use o teorema de Green para calcular
.
(Verifique a orientação da curva antes de aplicar o teorema).
, C é a circunferência
, orientada no sentido anti-horário.
(Verifique a orientação da curva antes de aplicar o teorema).
Considere as seguintes superfícies assim definidas:
e
. Se
e
são as áreas de
e
, respectivamente, então a única afirmação correta é:
(a)
(b) ; 0
for ; 0
(d) ;
(e) nenhuma das alternativas é correta.
(a)
(b)
for
(d)
(e) nenhuma das alternativas é correta.
Utilize o Teorema de Green para calcular a área da região cuja fronteira é o quadrilátero com vértices em
e
.
Utilize o Teorema de Green para calcular a área da região limitada pelos gráficos de
e
.