Verifique o teorema da divergência de Gauss no plano e o teorema de Stokes no plano para F e D dados.
F(x, y) = 3x i + 2y j e D é a região limitada pela circunferência x^2 + y^2 = 1.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver o exercício que pede para verificar o Teorema da Divergência de Gauss e o Teorema de Stokes no plano para o campo vetorial e a região D limitada pela circunferência .
Conteúdo envolvido: Teoremas de cálculo vetorial aplicados a campos vetoriais em duas dimensões, especificamente no plano.
O que precisamos: Entender como aplicar o Teorema da Divergência de Gauss e o Teorema de Stokes em 2D, calcular integrais de superfície e de linha para verificar se os teoremas são válidos para o campo e a região dados.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar os teoremas que vamos verificar.
  • Teorema da Divergência de Gauss (em 2D): Relaciona a integral da divergência de um campo vetorial sobre uma região D com a integral de fluxo do campo ao longo da fronteira de D.
    Onde é a divergência de F e n é o vetor normal à fronteira.
  • Teorema de Stokes (em 2D): Em 2D, o teorema de Stokes se relaciona à circulação do campo vetorial ao longo da fronteira com o rotacional do campo sobre a região.
    Onde nabla vezes F é o rotacional de F.

Passo 3

Vamos calcular a divergência e o rotacional do campo vetorial .
  • Divergência:
  • Rotacional:
    Em 2D, o rotacional de F é dado por:

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral da divergência sobre a região D e a integral de fluxo na fronteira para verificar o Teorema da Divergência.
  • Integral da divergência sobre D:
    Como a divergência é constante (5), a integral sobre a região D é:
    Á
    A área de D, que é o círculo de raio 1, é , então:
  • Integral de fluxo na fronteira :
    A fronteira é o círculo . Em coordenadas polares, podemos parametrizar a curva como:
    O vetor normal para a fronteira apontando para fora é simplesmente .
    O campo F na fronteira é:
    O produto escalar é:
    A integral de fluxo é então:
    (Aqui, porque o raio é 1).
    Calculando:

Passo 5

Vamos verificar agora o Teorema de Stokes.
  • Integral de circulação na fronteira :
    Usando a mesma parametrização em coordenadas polares:
    O campo F é:
    O produto escalar é:
    A integral de circulação é então:
    Essa integral resulta em zero, pois é uma função ímpar sobre o intervalo .
  • Integral do rotacional sobre D:
    Como o rotacional de F é zero:

Resposta

Ambos os teoremas são verificados corretamente para o campo vetorial dado:
  • Teorema da Divergência de Gauss:
  • Teorema de Stokes:

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