Verifique o teorema da divergência de Gauss no plano e o teorema de Stokes no plano para D dados.
e é a região limitada pela circunferência .

Passo 1

Beleza! Vamos resolver o exercício que pede para verificar o Teorema da Divergência de Gauss e o Teorema de Stokes no plano para o campo vetorial e a região limitada pela circunferência .
Conteúdo envolvido: Teoremas de cálculo vetorial aplicados a campos vetoriais em duas dimensões, especificamente no plano.
O que precisamos: Entender como aplicar o Teorema da Divergência de Gauss e o Teorema de Stokes em 2D, calcular integrais de superfície e de linha para verificar se os teoremas são válidos para o campo e a região dados.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar os teoremas que vamos verificar.
  • Teorema da Divergência de Gauss (em 2D): Relaciona a integral da divergência de um campo vetorial sobre uma região com a integral de fluxo do campo ao longo da fronteira de .
    Onde é a divergência de e é o vetor normal à fronteira.
  • Teorema de Stokes (em 2D): Em 2D, o teorema de Stokes se relaciona à circulação do campo vetorial ao longo da fronteira com o rotacional do campo sobre a região.
    Onde é o rotacional de .

Passo 3

Vamos calcular a divergência e o rotacional do campo vetorial .
  • Divergência:
  • Rotacional:
    Em 2D, o rotacional de é dado por:

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral da divergência sobre a região e a integral de fluxo na fronteira para verificar o Teorema da Divergência.
  • Integral da divergência sobre :
    Como a divergência é constante (5), a integral sobre a região é:
    Á
    A área de , que é o círculo de raio 1, é , então:
  • Integral de fluxo na fronteira :
    A fronteira é o círculo . Em coordenadas polares, podemos parametrizar a curva como:
    O vetor normal para a fronteira apontando para fora é simplesmente .
    O campo na fronteira é:
    O produto escalar é:
    A integral de fluxo é então:
    (Aqui, porque o raio é 1).
    Calculando:

Passo 5

Vamos verificar agora o Teorema de Stokes.
  • Integral de circulação na fronteira :
    Usando a mesma parametrização em coordenadas polares:
    O campo é:
    O produto escalar é:
    A integral de circulação é então:
    Essa integral resulta em zero, pois é uma função ímpar sobre o intervalo .
  • Integral do rotacional sobre :
    Como o rotacional de é zero:

Resposta

Ambos os teoremas são verificados corretamente para o campo vetorial dado:
  • Teorema da Divergência de Gauss:
  • Teorema de Stokes:

Exercícios relacionados

Use o teorema de Green para calcular .
(Verifique a orientação da curva antes de aplicar o teorema).
, C é a circunferência , orientada no sentido anti-horário.
Considere as seguintes superfícies assim definidas: e . Se e são as áreas de e , respectivamente, então a única afirmação correta é:
(a)
(b) ; 0
for ; 0
(d) ;
(e) nenhuma das alternativas é correta.
Utilize o Teorema de Green para calcular a área da região cuja fronteira é o quadrilátero com vértices em e .
Utilize o Teorema de Green para calcular a área da região limitada pelos gráficos de e .