Considere as seguintes superfícies dadas em coordenadas cilíndricas por:
$(a) Identifique estas superfícies.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos três superfícies definidas em coordenadas cilíndricas:
O conteúdo aqui é sobre superfícies em coordenadas cilíndricas, que é uma parte da geometria analítica. Para identificar cada superfície, vamos lembrar das fórmulas básicas dessas coordenadas e ver qual forma geométrica cada equação representa.

Passo 2

Vamos começar com a primeira superfície:
Aqui, temos uma relação linear entre e . Se rearranjarmos, fica:
Isso se assemelha à equação de um cone. Em coordenadas cilíndricas, uma equação da forma representa um cone com inclinação determinada por e deslocamento por .

Passo 3

Agora, vamos para a segunda superfície:
Podemos elevar ambos os lados ao quadrado para simplificar:
Rearranjando:
Essa é a equação de um cilindro elíptico. Em coordenadas cilíndricas, quando temos em termos de , frequentemente estamos lidando com cilindros ou superfícies parabólicas, mas neste caso específico, a presença de indica um cilindro com uma seção elíptica.

Passo 4

Por fim, vamos analisar a terceira superfície:
Essa equação se assemelha à forma de um paraboloide. Em coordenadas cilíndricas, uma equação do tipo representa um paraboloide de revolução, que é uma superfície curva semelhante a uma tigela.

Resposta

As superfícies são:
  • Um cone.
  • Um cilindro elíptico.
  • Um paraboloide de revolução.

Exercícios relacionados

Identifique as seguintes curvas:
dada em coordenadas cilíndricas
Se , ache ROS.
Dados os pontos , ,
a) Represente os pontos no sistema tridimensional.
As superfícies e estão em coordenadas esféricas.
$(a) Obtenha as equações das superfícies e em coordenadas cartesianas e identifique-as.