Considere as seguintes superfícies dadas em coordenadas cilíndricas por:
S1: z=-1+r, S2: z=raizr^2-1, S3: z=7-r^2
$(a) Identifique estas superfícies.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos três superfícies definidas em coordenadas cilíndricas:
S1: z = -1 + r, S2: z = raizr^2 - 1, S3: z = 7 - r^2
O conteúdo aqui é sobre superfícies em coordenadas cilíndricas, que é uma parte da geometria analítica. Para identificar cada superfície, vamos lembrar das fórmulas básicas dessas coordenadas e ver qual forma geométrica cada equação representa.

Passo 2

Vamos começar com a primeira superfície:
S1: z = -1 + r
Aqui, temos uma relação linear entre z = r - 1 e . Se rearranjarmos, fica:
Isso se assemelha à equação de um cone. Em coordenadas cilíndricas, uma equação da forma representa um cone com inclinação determinada por e deslocamento por .

Passo 3

Agora, vamos para a segunda superfície:
S2: z = raizr^2 - 1
Podemos elevar ambos os lados ao quadrado para simplificar:
z^2 = r^2 - 1
Rearranjando:
r^2 = z^2 + 1
Essa é a equação de um cilindro elíptico. Em coordenadas cilíndricas, quando temos em termos de , frequentemente estamos lidando com cilindros ou superfícies parabólicas, mas neste caso específico, a presença de indica um cilindro com uma seção elíptica.

Passo 4

Por fim, vamos analisar a terceira superfície:
S3: z = 7 - r^2
Essa equação se assemelha à forma de um paraboloide. Em coordenadas cilíndricas, uma equação do tipo representa um paraboloide de revolução, que é uma superfície curva semelhante a uma tigela.

Resposta

As superfícies são:
  • Um cone.
  • Um cilindro elíptico.
  • Um paraboloide de revolução.

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