Considere as seguintes superfícies dadas em coordenadas cilíndricas por:
$(a) Identifique estas superfícies.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos três superfícies definidas em coordenadas cilíndricas:
O conteúdo aqui é sobre superfícies em coordenadas cilíndricas, que é uma parte da geometria analítica. Para identificar cada superfície, vamos lembrar das fórmulas básicas dessas coordenadas e ver qual forma geométrica cada equação representa.
Passo 2
Vamos começar com a primeira superfície:
Aqui, temos uma relação linear entre
e
. Se rearranjarmos, fica:
Isso se assemelha à equação de um cone. Em coordenadas cilíndricas, uma equação da forma
representa um cone com inclinação determinada por
e deslocamento por
.
Passo 3
Agora, vamos para a segunda superfície:
Podemos elevar ambos os lados ao quadrado para simplificar:
Rearranjando:
Essa é a equação de um cilindro elíptico. Em coordenadas cilíndricas, quando temos
em termos de
, frequentemente estamos lidando com cilindros ou superfícies parabólicas, mas neste caso específico, a presença de
indica um cilindro com uma seção elíptica.
Passo 4
Por fim, vamos analisar a terceira superfície:
Essa equação se assemelha à forma de um paraboloide. Em coordenadas cilíndricas, uma equação do tipo
representa um paraboloide de revolução, que é uma superfície curva semelhante a uma tigela.
Resposta
As superfícies são:
-
Um cone. -
Um cilindro elíptico. -
Um paraboloide de revolução.
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Identifique as seguintes curvas:
dada em coordenadas cilíndricas
Se
, ache ROS.
Dados os pontos
,
,
a) Represente os pontos no sistema tridimensional.
a) Represente os pontos no sistema tridimensional.
As superfícies
e
estão em coordenadas esféricas.
$(a) Obtenha as equações das superfícies e
em coordenadas cartesianas e identifique-as.
$(a) Obtenha as equações das superfícies