As superfícies S1: phi=pi3 e S2: rho^2 sin ^2 phi-2 rho^2 cos ^2 phi=1 estão em coordenadas esféricas.
$(a) Obtenha as equações das superfícies (a) Obtenha as equações das superfícies e e em coordenadas cartesianas e identifique-as.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa transformar as equações das superfícies e de coordenadas esféricas para cartesianas e descobrir que tipo de superfícies elas representam. Para isso, vamos usar as relações básicas entre coordenadas esféricas e cartesianas.

Passo 2

Vamos começar com a superfície x = rho sin phi cos theta y = rho sin phi sin theta z = rho cos phi .
Em coordenadas esféricas, z = rho cos ( pi3 ) = rho times 12 implies rho = 2z é o ângulo que o vetor posição faz com o eixo 2z = raizx^2 + y^2 + z^2 . As relações para converter de esférico para cartesiano são:
4z^2 = x^2 + y^2 + z^2
Como 3z^2 = x^2 + y^2 é constante ( ), podemos focar na relação para :
Sabemos também que . Então:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Simplificando:
Essa é a equação em coordenadas cartesianas para .

Passo 3

Agora, vamos identificar que tipo de superfície é .
Essa equação representa um cone. Mais especificamente, um cone duplo centralizado na origem, com seu eixo alinhado ao eixo . A razão entre os coeficientes indica a abertura do cone.

Passo 4

Vamos passar para a superfície rho^2 (sin^2 phi - 2 cos^2 phi) = 1 .
Primeiro, vamos simplificar a equação:
rho^2 (1 - cos^2 phi - 2 cos^2 phi) = 1 implies rho^2 (1 - 3 cos^2 phi) = 1
Usando a identidade trigonométrica cos phi = zrho implies cos^2 phi = z^2rho^2 :
rho^2 (1 - 3 times z^2rho^2) = 1 implies rho^2 - 3z^2 = 1
Agora, usando as relações de conversão para cartesianas:
x^2 + y^2 + z^2 - 3z^2 = 1 implies x^2 + y^2 - 2z^2 = 1
Substituindo na equação:
Lembrando que :

Passo 5

Vamos identificar que tipo de superfície é .
Essa equação representa um hiperboloide de uma folha. É uma superfície de segunda ordem que se abre ao longo dos eixos e , e tem uma curvatura invertida ao longo do eixo .

Resposta

As equações das superfícies em coordenadas cartesianas são:
  • — um cone duplo.
  • — um hiperboloide de uma folha.

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