As superfícies e estão em coordenadas esféricas.
$(a) Obtenha as equações das superfícies e em coordenadas cartesianas e identifique-as.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa transformar as equações das superfícies e de coordenadas esféricas para cartesianas e descobrir que tipo de superfícies elas representam. Para isso, vamos usar as relações básicas entre coordenadas esféricas e cartesianas.
Passo 2
Vamos começar com a superfície .
Em coordenadas esféricas, é o ângulo que o vetor posição faz com o eixo . As relações para converter de esférico para cartesiano são:
Como é constante (), podemos focar na relação para :
Sabemos também que . Então:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Simplificando:
Essa é a equação em coordenadas cartesianas para .
Passo 3
Agora, vamos identificar que tipo de superfície é .
Essa equação representa um cone. Mais especificamente, um cone duplo centralizado na origem, com seu eixo alinhado ao eixo . A razão entre os coeficientes indica a abertura do cone.
Passo 4
Vamos passar para a superfície .
Primeiro, vamos simplificar a equação:
Usando a identidade trigonométrica :
Agora, usando as relações de conversão para cartesianas:
Substituindo na equação:
Lembrando que :
Passo 5
Vamos identificar que tipo de superfície é .
Essa equação representa um hiperboloide de uma folha. É uma superfície de segunda ordem que se abre ao longo dos eixos e , e tem uma curvatura invertida ao longo do eixo .
Resposta
As equações das superfícies em coordenadas cartesianas são: