Considere as seguintes superfícies dadas em coordenadas cilíndricas por:
$(b) Represente geometricamente o sólido delimitado inferiormente por
, lateralmente por
e superiormente por
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três superfícies definidas em coordenadas cilíndricas:
A tarefa é representar geometricamente o sólido que é limitado por:
- Inferiormente por
, - Lateralmente por
, - Superiormente por
.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que cada uma dessas superfícies representa no espaço 3D e como elas se relacionam para formar o sólido.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que são coordenadas cilíndricas. Em coordenadas cilíndricas, um ponto no espaço é representado por
, onde:
-
é a distância do ponto até o eixo , -
é o ângulo em torno do eixo , -
é a altura a partir do plano .
Agora, vamos analisar cada superfície:
-
Essa equação relaciona
e . À medida que aumenta, também aumenta linearmente. Isso descreve um plano inclinado que sobe à medida que nos afastamos do eixo . -
Aqui,
é a raiz quadrada de . Isso só é real se , então essa superfície existe para . Essa é uma espécie de cone ou paraboloide que abre para cima a partir de . -
Esta é uma parábola invertida em relação a
. Conforme aumenta, diminui. Essa superfície representa um paraboloide que se abre para baixo.
Passo 3
Agora, vamos visualizar como essas superfícies se interceptam e formam o sólido desejado:
-
Interseção entre
e : Igualando as equações:Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:Então, a interseção ocorre em. -
Interseção entre
e : Igualando as equações:Resolvendo a equação quadrática:Apenas a solução positiva faz sentido para: -
Interseção entre
e : Igualando as equações:Elevando ambos os lados:Resolviendo essa equação quadrática em: ou
Passo 4
Com as interseções mapeadas, podemos descrever o sólido:
-
Base Inferior (
): Um plano inclinado que começa no eixo e sobe conforme aumenta, funcionando como a “base” do sólido. -
Face Lateral (
): Uma superfície que começa em e se abre para cima, delimitando lateralmente o sólido. -
Topo (
): Um paraboloide invertido que forma o “teto” do sólido, fechando-o na parte superior.
O sólido está, portanto, limitado abaixo pelo plano inclinado
, nas laterais pelo paraboloide
, e acima pelo paraboloide invertido
.
Resposta
O sólido delimitado inferiormente pelo plano inclinado
, lateralmente pelo paraboloide
e superiormente pelo paraboloide invertido
forma uma região tridimensional fechada. Visualmente, ele se assemelha a uma “casca” que começa em uma base inclinada, se expande lateralmente a partir de
e é fechada no topo por um “teto” parabólico. Esse sólido está confinado dentro dos limites definidos pelas interseções das superfícies em
aproximadamente igual a 1, 2.37 e 3.16.