Considere as seguintes superfícies dadas em coordenadas cilíndricas por:
$(b) Represente geometricamente o sólido delimitado inferiormente por , lateralmente por e superiormente por .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três superfícies definidas em coordenadas cilíndricas:
A tarefa é representar geometricamente o sólido que é limitado por:
Inferiormente por ,
Lateralmente por ,
Superiormente por .
Para resolver isso, vamos precisar entender o que cada uma dessas superfícies representa no espaço 3D e como elas se relacionam para formar o sólido.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que são coordenadas cilíndricas. Em coordenadas cilíndricas, um ponto no espaço é representado por , onde:
é a distância do ponto até o eixo ,
é o ângulo em torno do eixo ,
é a altura a partir do plano .
Agora, vamos analisar cada superfície:
Essa equação relaciona e . À medida que aumenta, também aumenta linearmente. Isso descreve um plano inclinado que sobe à medida que nos afastamos do eixo .
Aqui, é a raiz quadrada de . Isso só é real se , então essa superfície existe para . Essa é uma espécie de cone ou paraboloide que abre para cima a partir de .
Esta é uma parábola invertida em relação a . Conforme aumenta, diminui. Essa superfície representa um paraboloide que se abre para baixo.
Passo 3
Agora, vamos visualizar como essas superfícies se interceptam e formam o sólido desejado:
Interseção entre e :
Igualando as equações:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Então, a interseção ocorre em .
Interseção entre e :
Igualando as equações:
Resolvendo a equação quadrática:
Apenas a solução positiva faz sentido para :
Interseção entre e :
Igualando as equações:
Elevando ambos os lados:
Resolviendo essa equação quadrática em :
ou
Passo 4
Com as interseções mapeadas, podemos descrever o sólido:
Base Inferior (): Um plano inclinado que começa no eixo e sobe conforme aumenta, funcionando como a “base” do sólido.
Face Lateral (): Uma superfície que começa em e se abre para cima, delimitando lateralmente o sólido.
Topo (): Um paraboloide invertido que forma o “teto” do sólido, fechando-o na parte superior.
O sólido está, portanto, limitado abaixo pelo plano inclinado , nas laterais pelo paraboloide , e acima pelo paraboloide invertido .
Resposta
O sólido delimitado inferiormente pelo plano inclinado , lateralmente pelo paraboloide e superiormente pelo paraboloide invertido forma uma região tridimensional fechada. Visualmente, ele se assemelha a uma “casca” que começa em uma base inclinada, se expande lateralmente a partir de e é fechada no topo por um “teto” parabólico. Esse sólido está confinado dentro dos limites definidos pelas interseções das superfícies em aproximadamente igual a 1, 2.37 e 3.16.