Considere as seguintes superfícies dadas em coordenadas cilíndricas por:
S1: z=-1+r, S2: z=raizr^2-1, S3: z=7-r^2
$(b) Represente geometricamente o sólido delimitado inferiormente por (b) Represente >=ometricamente o sólido delimitado inferiormente por , lateralmente por , lateralmente por e superiormente por e superiormente por .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três superfícies definidas em coordenadas cilíndricas:
S1: z = -1 + r, S2: z = raizr^2 - 1, S3: z = 7 - r^2
A tarefa é representar geometricamente o sólido que é limitado por:
  • Inferiormente por ,
  • Lateralmente por ,
  • Superiormente por .
Para resolver isso, vamos precisar entender o que cada uma dessas superfícies representa no espaço 3D e como elas se relacionam para formar o sólido.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são coordenadas cilíndricas. Em coordenadas cilíndricas, um ponto no espaço é representado por , onde:
  • é a distância do ponto até o eixo ,
  • é o ângulo em torno do eixo ,
  • é a altura a partir do plano .
Agora, vamos analisar cada superfície:
  • Essa equação relaciona e . À medida que aumenta, também aumenta linearmente. Isso descreve um plano inclinado que sobe à medida que nos afastamos do eixo .
  • Aqui, é a raiz quadrada de . Isso só é real se , então essa superfície existe para . Essa é uma espécie de cone ou paraboloide que abre para cima a partir de .
  • Esta é uma parábola invertida em relação a . Conforme aumenta, diminui. Essa superfície representa um paraboloide que se abre para baixo.

Passo 3

Agora, vamos visualizar como essas superfícies se interceptam e formam o sólido desejado:
  1. Interseção entre -1 + r = raizr^2 - 1 e (-1 + r)^2 = r^2 - 1 :
    Igualando as equações:
    1 - 2r + r^2 = r^2 - 1
    Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
    1 - 2r = -1
    -2r = -2 implies r = 1
    -1 + r = 7 - r^2
    r^2 + r - 8 = 0
    Então, a interseção ocorre em r = -1 pm raiz1 + 322 = -1 pm raiz332 .
  2. Interseção entre r = -1 + raiz332 approx 2.37 e raizr^2 - 1 = 7 - r^2 :
    Igualando as equações:
    r^2 - 1 = 49 - 14r^2 + r^4
    r^4 - 15r^2 + 50 = 0
    Resolvendo a equação quadrática:
    r^2 = 15 pm raiz225 - 2002 = 15 pm raiz252 = 15 pm 52
    Apenas a solução positiva faz sentido para r^2 = 10 implies r = raiz10 approx 3.16 :
    r^2 = 5 implies r = raiz5 approx 2.24
  3. Interseção entre e :
    Igualando as equações:
    Elevando ambos os lados:
    Resolviendo essa equação quadrática em :
    ou

Passo 4

Com as interseções mapeadas, podemos descrever o sólido:
  • Base Inferior ( ): Um plano inclinado que começa no eixo e sobe conforme aumenta, funcionando como a “base” do sólido.
  • Face Lateral ( ): Uma superfície que começa em e se abre para cima, delimitando lateralmente o sólido.
  • Topo ( ): Um paraboloide invertido que forma o “teto” do sólido, fechando-o na parte superior.
O sólido está, portanto, limitado abaixo pelo plano inclinado , nas laterais pelo paraboloide , e acima pelo paraboloide invertido .

Resposta

O sólido delimitado inferiormente pelo plano inclinado , lateralmente pelo paraboloide e superiormente pelo paraboloide invertido forma uma região tridimensional fechada. Visualmente, ele se assemelha a uma “casca” que começa em uma base inclinada, se expande lateralmente a partir de e é fechada no topo por um “teto” parabólico. Esse sólido está confinado dentro dos limites definidos pelas interseções das superfícies em aproximadamente igual a 1, 2.37 e 3.16.

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