Represente geometricamente o sólido que satisfaz as condições: .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para representarmos geometricamente um sólido que satisfaz certas condições em coordenadas esféricas. O que isso significa? A gente vai trabalhar com conceitos de geometria espacial usando coordenadas esféricas, e para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre como essas coordenadas funcionam.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são coordenadas esféricas. Nesse sistema, qualquer ponto no espaço é descrito por três valores:
  • : a distância do ponto até a origem.
  • : o ângulo no plano xy, medindo a partir do eixo x.
  • : o ângulo a partir do eixo z positivo para o ponto.

Passo 3

Agora, vamos analisar as condições que nos foram dadas:
  • varia de 0 a , ou seja, dá uma volta completa ao redor do eixo z.
  • varia de 0 a , o que significa que estamos considerando apenas pontos que estão dentro de um ângulo de 30 graus a partir do eixo z.
  • vai de 0 a 3, então a distância máxima do ponto até a origem é 3 unidades.

Passo 4

Com essas condições, o sólido que estamos descrevendo é um cone. O cone tem:
  • Apex (ponto mais alto) na origem.
  • Ângulo de abertura de (30 graus) em relação ao eixo z.
  • Altura máxima de 3 unidades porque vai até 3.
Além disso, como vai de 0 a , o cone gira completamente em torno do eixo z, formando uma superfície circular.

Resposta

O sólido é um cone de altura 3 unidades, com o vértice na origem, aberto em um ângulo de em relação ao eixo z, e girando 360 graus ao redor desse eixo.

Exercícios relacionados

Considere as seguintes superfícies dadas em coordenadas cilíndricas por:
$(b) Represente geometricamente o sólido delimitado inferiormente por , lateralmente por e superiormente por .
Dados os pontos , ,
g) Quais pontos estão nos planos xy e yz?
Dados os pontos , ,
e) Quais pontos estão no plano xy?
Dados os pontos , ,
f) Quais pontos estão nos planos xy e xz?