Identifique as seguintes curvas:
dada em coordenadas esféricas
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente identificar a curva definida pelas equações
e
no sistema de coordenadas esféricas. Isso está relacionado à matéria de Geometria Analítica ou Cálculo, onde trabalhamos com diferentes sistemas de coordenadas para descrever posições no espaço. Para resolver, vamos precisar entender o que cada uma dessas variáveis representa nas coordenadas esféricas e como elas definem uma curva específica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são as coordenadas esféricas. Nesse sistema, qualquer ponto no espaço é descrito por três valores:
-
: a distância do ponto até a origem. -
: o ângulo no plano a partir do eixo positivo. -
: o ângulo entre o vetor posição e o eixo .
No nosso caso, temos
e
. Isso significa que todos os pontos na curva estão a uma distância fixa de 4 unidades da origem e fazem um ângulo de
com o eixo
.
Passo 3
Vamos visualizar isso. Se
é constante, estamos falando de uma superfície esférica com raio 4. Mas também temos
, que fixa o ângulo com o eixo
. Isso não descreve toda a esfera, mas sim uma interseção entre a esfera e um cone.
Passo 4
O ângulo
define um cone de abertura
em torno do eixo
. Então, a curva que estamos procurando é a interseção desse cone com a esfera de raio 4.
Passo 5
Essa interseção é um círculo. Portanto, a curva descrita pelas equações
e
em coordenadas esféricas é um círculo que está inclinado em relação ao eixo
e localizado a uma distância de 4 unidades da origem.
Resposta
A curva definida por
e
em coordenadas esféricas é um círculo inclinado de raio
, localizado na interseção de uma esfera de raio 4 com um cone de ângulo
em relação ao eixo
.
Exercícios relacionados
Considere a transformacià linear
dada por
Dados os pontos
,
,
d) Quais pontos estão no eixo y?
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Dados os pontos
,
,
g) Quais pontos estão nos planos xy e yz?
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Considere as seguintes superfícies dadas em coordenadas cilíndricas por:
$(b) Represente geometricamente o sólido delimitado inferiormente por
, lateralmente por
e superiormente por
.