Considere os seguintes vetores do
e
.
c) Determinar uma base ortonormal de W.
c) Determinar uma base ortonormal de W.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem dois vetores no espaço tridimensional:
e
. A questão pede para encontrar uma base ortonormal do subespaço
que esses vetores geram. Para isso, vamos usar o processo de Gram-Schmidt, que ajuda a transformar vetores quaisquer em vetores ortogonais (perpendiculares) e, depois, normalizá-los para terem comprimento 1.
Passo 2
Primeiro, vamos garantir que
e
sejam ortogonais. No Gram-Schmidt, começamos com o primeiro vetor e depois ajustamos o segundo para que seja perpendicular ao primeiro.
Vamos definir:
Onde
é o comprimento de
.
Calculando o comprimento de
:
Então,
Passo 3
Agora, vamos ajustar
para que seja perpendicular a
. Fazemos isso subtraindo a projeção de
em
de
.
A projeção de
em
é:
Calculando o produto escalar
:
Então,
Agora, ajustamos
:
Passo 4
Agora, vamos normalizar
para obter
.
Calculando o comprimento de
:
Então,
Resposta
Uma base ortonormal de
é formada pelos vetores: