Considere os seguintes vetores do R^3: u=(2,2,2) e v=(3,3,1).
c) Determinar uma base ortonormal de W.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem dois vetores no espaço tridimensional: e . A questão pede para encontrar uma base ortonormal do subespaço que esses vetores geram. Para isso, vamos usar o processo de Gram-Schmidt, que ajuda a transformar vetores quaisquer em vetores ortogonais (perpendiculares) e, depois, normalizá-los para terem comprimento 1.

Passo 2

Primeiro, vamos garantir que e1 = u||u|| e ||u|| = raiz2^2 + 2^2 + 2^2 = raiz4 + 4 + 4 = raiz12 = 2raiz3 sejam ortogonais. No Gram-Schmidt, começamos com o primeiro vetor e depois ajustamos o segundo para que seja perpendicular ao primeiro.
Vamos definir:
e1 = 12raiz3 (2, 2, 2) = ( 1raiz3, 1raiz3, 1raiz3 )
Onde é o comprimento de .
Calculando o comprimento de :
Então,

Passo 3

Agora, vamos ajustar proje1 v = ( v cdot e1 ) e1 para que seja perpendicular a v cdot e1 = 3 cdot 1raiz3 + 3 cdot 1raiz3 + 1 cdot 1raiz3 = 3 + 3 + 1raiz3 = 7raiz3 . Fazemos isso subtraindo a projeção de proje1 v = 7raiz3 cdot ( 1raiz3, 1raiz3, 1raiz3 ) = ( 73, 73, 73 ) em v' = v - proje1 v = ( 3 - 73, 3 - 73, 1 - 73 ) = ( 23, 23, -43 ) de .
A projeção de em é:
Calculando o produto escalar :
Então,
Agora, ajustamos :

Passo 4

Agora, vamos normalizar ||v'|| = raiz( 23 )^2 + ( 23 )^2 + ( -43 )^2 = raiz49 + 49 + 169 = raiz249 = raiz83 = 2raiz63 para obter e2 = v'||v'|| = 12raiz63 ( 23, 23, -43 ) = ( raiz66, raiz66, -2raiz66 ) = ( raiz66, raiz66, -raiz63 ) .
Calculando o comprimento de :
Então,

Resposta

Uma base ortonormal de e1 = ( 1raiz3, 1raiz3, 1raiz3 ) é formada pelos vetores:
e2 = ( raiz66, raiz66, -raiz63 )

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