Seja V um espaço euclidiano de dimensão finita e seja E a projeção ortogonal de V sobre o sub-espaço W de V . Mostrar que o operador linear E tem a seguinte propriedade: lang<=E(u), vrang<==lang<= u, E(v)rang<=, forall u, v in V.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre projeção ortogonal em um espaço euclidiano finito. O conteúdo aqui é de álgebra linear, especificamente sobre operadores lineares e produtos internos. O que a gente precisa é entender o que é uma projeção ortogonal e como funciona o produto interno para provar a propriedade dada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma projeção ortogonal. Num espaço euclidiano, a projeção ortogonal de um vetor sobre um subespaço é o vetor em mais próximo de . Ou seja, é o ponto em tal que a diferença é perpendicular a todo vetor em .

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o produto interno . Ele é uma maneira de medir “angulos” e “comprimentos” no espaço, e tem algumas propriedades importantes, como ser linear no primeiro argumento e simétrico, ou seja, .

Passo 4

Para provar que lang<= u - E(u), E(v) rang<= = 0 para todos os lang<= u, E(v) rang<= - lang<= E(u), E(v) rang<= = 0 , vamos usar a definição de projeção ortogonal. Sabemos que lang<= E(u), E(v) rang<= = lang<= u, E(v) rang<= é perpendicular a lang<= E(u), v rang<= = lang<= u, E(v) rang<= , então para qualquer , temos . Como está em , podemos substituir por :
Expandindo o produto interno:
Isso nos dá:
Como está em e também está em , (porque é a projeção em ). Portanto:

Resposta

A propriedade é verdadeira para todos os .

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