Seja V um espaço euclidiano de dimensão finita e seja E a projeção ortogonal de V sobre o sub-espaço W de V . Mostrar que o operador linear E tem a seguinte propriedade:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre projeção ortogonal em um espaço euclidiano finito. O conteúdo aqui é de álgebra linear, especificamente sobre operadores lineares e produtos internos. O que a gente precisa é entender o que é uma projeção ortogonal e como funciona o produto interno para provar a propriedade dada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma projeção ortogonal. Num espaço euclidiano, a projeção ortogonal
de um vetor
sobre um subespaço
é o vetor em
mais próximo de
. Ou seja,
é o ponto em
tal que a diferença
é perpendicular a todo vetor em
.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre o produto interno
. Ele é uma maneira de medir “angulos” e “comprimentos” no espaço, e tem algumas propriedades importantes, como ser linear no primeiro argumento e simétrico, ou seja,
.
Passo 4
Para provar que
para todos os
, vamos usar a definição de projeção ortogonal. Sabemos que
é perpendicular a
, então para qualquer
, temos
. Como
está em
, podemos substituir
por
:
Expandindo o produto interno:
Isso nos dá:
Como
está em
e
também está em
,
(porque
é a projeção em
). Portanto:
Resposta
A propriedade
é verdadeira para todos os
.