Determine m in R a fim de que o seguinte operador linear do R^3 seja uma isometria: F(x, y, z)=(1raiz3 x+1raiz3 y+m z, -1raiz6 x+2raiz6 y-1raiz6 z,-1raiz2 x+1raiz2 z).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar um valor real para F(x, y, z) = (1raiz3 x + 1raiz3 y + m z, -1raiz6 x + 2raiz6 y - 1raiz6 z, -1raiz2 x + 1raiz2 z) tal que o operador linear definido por
seja uma isometria no espaço . Aqui, estamos trabalhando com álgebra linear, especificamente com operadores lineares e isometrias. Para resolver, vamos precisar entender como determinar quando um operador linear preserva distâncias, ou seja, é uma isometria.

Passo 2

Primeiro, vamos representar o operador linear A = 1raiz3 & 1raiz3 & m -1raiz6 & 2raiz6 & -1raiz6 -1raiz2 & 0 & 1raiz2 na forma de uma matriz. Cada componente de corresponde a uma coluna da matriz :

Passo 3

Agora, para que A^T A = I seja uma isometria, a matriz precisa preservar a distância, ou seja, preservar o produto interno. Isso significa que deve ser uma matriz ortogonal, o que satisfaz a condição:
onde é a transposta de e é a matriz identidade.

Passo 4

Vamos calcular A^T = 1raiz3 & -1raiz6 & -1raiz2 1raiz3 & 2raiz6 & 0 m & -1raiz6 & 1raiz2 e igualar a A^T A = 13 + 16 + 12 & dots & dots dots & dots & dots dots & dots & dots . Primeiro, calculamos m^2 = 1 :
Multiplicando por :
Vamos focar no elemento que envolve para simplificar. Ao calcular o produto, encontramos que para manter a matriz identidade, precisamos que:

Passo 5

Resolvendo m = pm 1 , temos as soluções:

Resposta

O valor de que faz com que seja uma isometria é ou .

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