Determine a fim de que o seguinte operador linear do seja uma isometria: .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar um valor real para tal que o operador linear definido por
seja uma isometria no espaço . Aqui, estamos trabalhando com álgebra linear, especificamente com operadores lineares e isometrias. Para resolver, vamos precisar entender como determinar quando um operador linear preserva distâncias, ou seja, é uma isometria.
Passo 2
Primeiro, vamos representar o operador linear na forma de uma matriz. Cada componente de corresponde a uma coluna da matriz :
Passo 3
Agora, para que A^T A = I seja uma isometria, a matriz precisa preservar a distância, ou seja, preservar o produto interno. Isso significa que deve ser uma matriz ortogonal, o que satisfaz a condição: