Encontre um operador linear tal que 3 e -1 sejam autovalores de com respectivos autoespaços e .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar um operador linear que tenha dois autovalores específicos: 3 e -1. Além disso, os espaços próprios associados a esses autovalores são dados por para o autovalor 3 e para o autovalor -1. Vamos usar conceitos de álgebra linear, como autovalores, autovetores e matrizes de operadores lineares.
Passo 2
Um operador linear pode ser representado por uma matriz. Se conhecermos os autovalores e os autovetores, podemos construir essa matriz facilmente. Nesse caso, temos dois autovalores: 3 e -1.
Passo 3
Para o autovalor 3, o espaço próprio é gerado pelos vetores e . Isso significa que qualquer vetor nesse espaço será multiplicado por 3 quando aplicarmos o operador .
Passo 4
Para o autovalor -1, o espaço próprio é gerado pelo vetor . Isso significa que esse vetor será multiplicado por -1 quando aplicarmos o operador .
Passo 5
Como temos uma base completa de formada pelos vetores , e , podemos construir a matriz de diretamente colocando os autovalores na diagonal correspondente a esses vetores.
Passo 6
Organizando os autovalores na diagonal, a matriz de fica assim:
Resposta
A matriz que representa o operador linear T = 3 & 0 & 0 0 & 3 & 0 0 & 0 & -1 é: