Encontre um operador linear T: R^3 longrightarrow R^3 tal que 3 e -1 sejam autovalores de T com respectivos autoespaços V3=[(1,0,0) ;(0,1,0)] e V-1=[(1,2,3)].

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar um operador linear que tenha dois autovalores específicos: 3 e -1. Além disso, os espaços próprios associados a esses autovalores são dados por para o autovalor 3 e para o autovalor -1. Vamos usar conceitos de álgebra linear, como autovalores, autovetores e matrizes de operadores lineares.

Passo 2

Um operador linear pode ser representado por uma matriz. Se conhecermos os autovalores e os autovetores, podemos construir essa matriz facilmente. Nesse caso, temos dois autovalores: 3 e -1.

Passo 3

Para o autovalor 3, o espaço próprio é gerado pelos vetores e . Isso significa que qualquer vetor nesse espaço será multiplicado por 3 quando aplicarmos o operador .

Passo 4

Para o autovalor -1, o espaço próprio é gerado pelo vetor . Isso significa que esse vetor será multiplicado por -1 quando aplicarmos o operador .

Passo 5

Como temos uma base completa de formada pelos vetores , e , podemos construir a matriz de diretamente colocando os autovalores na diagonal correspondente a esses vetores.

Passo 6

Organizando os autovalores na diagonal, a matriz de T = 3 & 0 & 0 0 & 3 & 0 0 & 0 & -1 fica assim:

Resposta

A matriz que representa o operador linear T = 3 & 0 & 0 0 & 3 & 0 0 & 0 & -1 é:

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