2,5 Considere f(x) = sen(x) - x^2, endo como aproximação inicial x_0 = 0.9. Calcule a sua raiz, com uma precisão epsilon <= 10^(-3), utilizando o método da Iteração Linear.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a raiz da função usando o método de Iteração Linear, começando com uma aproximação inicial . A gente vai precisar entender esse método e como aplicá-lo passo a passo para chegar a uma resposta com precisão de .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o método de Iteração Linear. Esse método é usado para encontrar raízes de equações rearranjando a equação para a forma . A ideia é começar com uma aproximação inicial e iterar usando até que a diferença entre duas iterações consecutivas seja menor que a precisão desejada.

Passo 3

No nosso caso, temos . Vamos rearranjar para . Uma forma comum de fazer isso é isolar de um dos termos. Podemos escrever:
Então, nossa função será .

Passo 4

Agora, começamos com a aproximação inicial . Vamos calcular .
Calculando isso:

Passo 5

Em seguida, calculamos :

Passo 6

Continuamos iterando até que a diferença entre e seja menor ou igual a . Vamos continuar:

Passo 7

Observando que as iterações estão convergindo lentamente, e cada novo valor está se aproximando do anterior, mas a diferença entre e está diminuindo. Vamos verificar a diferença:
Ainda não atingimos a precisão desejada ( ). Continuamos até que a diferença seja menor ou igual a .

Resposta

Após várias iterações, a raiz aproximada da função com precisão é aproximadamente .

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