Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma série infinita:
Precisamos encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência dessa série. Para isso, vamos usar conceitos de Séries de Potências e Testes de Convergência, como o Teste da Razão e o Teste da Alternância.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a forma geral da série. Observamos que a série é uma série de potências centrada em . A forma geral de uma série de potências é:
onde é o centro da série. No nosso caso, .

Passo 3

Para encontrar o raio de convergência, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar para quais valores de a série converge. O teste envolve calcular o limite:
onde é o termo geral da série. Se , a série converge; se , diverge; e se , o teste é inconclusivo.

Passo 4

Aplicando o Teste da Razão à nossa série:
Calculamos o limite:

Passo 5

Simplificando o limite:
Para que a série convirja pelo Teste da Razão, precisamos que , ou seja:

Passo 6

A partir da inequação , determinamos o intervalo de valores de que satisfazem essa condição:
Subtraindo 1 de todos os lados:
Então, o raio de convergência é , e o centro da série é , pois foi o ponto ao redor do qual a série está expandida.

Passo 7

Agora, para determinar o intervalo de convergência, precisamos verificar a convergência nos pontos finais do intervalo .
Vamos verificar para e .
  1. Para :
Essa é a série harmônica negativa, que diverge.
  1. Para :
Essa é a série alternada harmônica, que converge pelo Teste da Alternância.

Passo 8

Portanto, o intervalo de convergência é:

Resposta

O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

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