Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
sumn=1^+infty(-1)^n+1 (x+1)^nn

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma série infinita:
sumn=1^+infty(-1)^n+1 (x+1)^nn
Precisamos encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência dessa série. Para isso, vamos usar conceitos de Séries de Potências e Testes de Convergência, como o Teste da Razão e o Teste da Alternância.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a forma geral da série. Observamos que a série é uma série de potências centrada em x = -1. A forma geral de uma série de potências é:
sumn=0^+infty cn (x - a)^n
onde a é o centro da série. No nosso caso, a = -1.

Passo 3

Para encontrar o raio de convergência, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar para quais valores de x a série converge. O teste envolve calcular o limite:
L = limn to +infty | an+1an |
onde an é o termo geral da série. Se L < 1, a série converge; se L > 1, diverge; e se L = 1, o teste é inconclusivo.

Passo 4

Aplicando o Teste da Razão à nossa série:
an = (-1)^n+1 (x+1)^nn
Calculamos o limite:
| an+1an | = | (-1)^(n+1)+1 (x+1)^n+1n+1(-1)^n+1 (x+1)^nn | = | (x+1)^n+1 cdot n(x+1)^n cdot (n+1) | = | (x+1) cdot nn+1 |

Passo 5

Simplificando o limite:
L = limn to +infty | (x+1) cdot nn+1 | = |x+1| cdot limn to +infty nn+1 = |x+1| cdot 1 = |x+1|
Para que a série convirja pelo Teste da Razão, precisamos que L < 1, ou seja:
|x+1| < 1

Passo 6

A partir da inequação |x+1| < 1, determinamos o intervalo de valores de x que satisfazem essa condição:
-1 < x + 1 < 1
Subtraindo 1 de todos os lados:
-2 < x < 0
Então, o raio de convergência R é 1, e o centro da série é -1, pois foi o ponto ao redor do qual a série está expandida.

Passo 7

Agora, para determinar o intervalo de convergência, precisamos verificar a convergência nos pontos finais do intervalo [-2, 0].
Vamos verificar para x = -2 e x = 0.
  1. Para x = -2:
sumn=1^+infty (-1)^n+1 (-2 +1)^nn = sumn=1^+infty (-1)^n+1 (-1)^nn = sumn=1^+infty (-1)^2n+1n = sumn=1^+infty -1n
Essa é a série harmônica negativa, que diverge.
  1. Para x = 0:
sumn=1^+infty (-1)^n+1 (0 +1)^nn = sumn=1^+infty (-1)^n+1 1n
Essa é a série alternada harmônica, que converge pelo Teste da Alternância.

Passo 8

Portanto, o intervalo de convergência é:
-2 < x <= 0

Resposta

O raio de convergência é R = 1 e o intervalo de convergência é -2 < x <= 0.

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