Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma série infinita:
Precisamos encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência dessa série. Para isso, vamos usar conceitos de Séries de Potências e Testes de Convergência, como o Teste da Razão e o Teste da Alternância.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a forma geral da série. Observamos que a série é uma série de potências centrada em . A forma geral de uma série de potências é:
onde é o centro da série. No nosso caso, .
Passo 3
Para encontrar o raio de convergência, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar para quais valores de a série converge. O teste envolve calcular o limite:
onde é o termo geral da série. Se , a série converge; se , diverge; e se , o teste é inconclusivo.
Passo 4
Aplicando o Teste da Razão à nossa série:
Calculamos o limite:
Passo 5
Simplificando o limite:
Para que a série convirja pelo Teste da Razão, precisamos que , ou seja:
Passo 6
A partir da inequação , determinamos o intervalo de valores de que satisfazem essa condição:
Subtraindo 1 de todos os lados:
Então, o raio de convergência é , e o centro da série é , pois foi o ponto ao redor do qual a série está expandida.
Passo 7
Agora, para determinar o intervalo de convergência, precisamos verificar a convergência nos pontos finais do intervalo .
Vamos verificar para e .
Para :
Essa é a série harmônica negativa, que diverge.
Para :
Essa é a série alternada harmônica, que converge pelo Teste da Alternância.
Passo 8
Portanto, o intervalo de convergência é:
Resposta
O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .