Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma série infinita:
Precisamos encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência dessa série. Para isso, vamos usar conceitos de Séries de Potências e Testes de Convergência, como o Teste da Razão e o Teste da Alternância.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a forma geral da série. Observamos que a série é uma série de potências centrada em . A forma geral de uma série de potências é:
onde é o centro da série. No nosso caso, .
Passo 3
Para encontrar o raio de convergência, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar para quais valores de a série converge. O teste envolve calcular o limite:
onde an é o termo geral da série. Se L < 1, a série converge; se L > 1, diverge; e se L = 1, o teste é inconclusivo.