Encontre a solução geral das EDOS lineares de segunda ordem abaixo, usando o método especificado:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem: . A matéria envolvida aqui é Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) lineares de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução da equação homogênea associada e depois uma solução particular para a equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Essa é uma EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação homogênea é dada por:
onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular ( ) para a equação completa . Como o lado direito é , vamos tentar uma solução particular da forma:
Vamos derivar duas vezes:
Substituindo , e na equação original:
Simplificando, temos:
Isso não funciona, o que significa que nossa suposição inicial para não é adequada. Vamos tentar outra forma, multiplicando por :
Derivando novamente:
Substituindo na equação original:
Simplificando:
Igualando os coeficientes:
Então, a solução particular é:

Passo 4

Agora, juntamos a solução da equação homogênea com a solução particular para obter a solução geral da equação diferencial:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes arbitrárias.

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