Encontre a solução geral das EDOS lineares de segunda ordem abaixo, usando o método especificado:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem:
. A matéria envolvida aqui é Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) lineares de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução da equação homogênea associada e depois uma solução particular para a equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
. Essa é uma EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação homogênea é dada por:
onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular (
) para a equação completa
. Como o lado direito é
, vamos tentar uma solução particular da forma:
Vamos derivar
duas vezes:
Substituindo
,
e
na equação original:
Simplificando, temos:
Isso não funciona, o que significa que nossa suposição inicial para
não é adequada. Vamos tentar outra forma, multiplicando por
:
Derivando novamente:
Substituindo na equação original:
Simplificando:
Igualando os coeficientes:
Então, a solução particular é:
Passo 4
Agora, juntamos a solução da equação homogênea com a solução particular para obter a solução geral da equação diferencial:
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
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