Considere
como sendo a parte do cone
interior ao cilindro
. Determine
, onde
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de superfície
, onde
. A superfície
é a parte do cone
que está dentro do cilindro
. Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de superfície e vetores normais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a geometria da superfície
. O cone é dado por
, que pode ser reescrito como
. Esse cone intercepta o cilindro
quando
. Então, a superfície
é a parte do cone que vai de
até
.
Passo 3
Agora, para calcular a integral de superfície, precisamos parametrizar o cone. É útil usar coordenadas cilíndricas, onde
,
, e
, já que
. Aqui,
varia de 0 a 1 (porque
) e
varia de 0 a
.
Passo 4
Em coordenadas cilíndricas, um elemento de superfície
no cone pode ser encontrado usando o vetor normal. Para o cone
, a normal pode ser calculada a partir das derivadas parciais. Após cálculo, obtemos
. A direção escolhida é para cima, conforme a orientação do problema.
Passo 5
Agora, vamos calcular o produto escalar
:
Multiplicando os vetores:
Passo 6
Finalmente, vamos integrar essa expressão sobre
de 0 a 1 e
de 0 a
:
Integrando em
:
Simplificando:
As integrais de
e
de 0 a
são zero, então restam:
Resposta
A integral de superfície
vale
.