Considere S como sendo a parte do cone z=(x^2+y^2)^1 / 2 interior ao cilindro x^2+y^2=1. Determine integral duplaS F cdot d S, onde F(x, y, z)=2 i+5 j+3 k.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de superfície , onde . A superfície é a parte do cone que está dentro do cilindro . Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de superfície e vetores normais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a geometria da superfície . O cone é dado por , que pode ser reescrito como . Esse cone intercepta o cilindro quando . Então, a superfície é a parte do cone que vai de até .

Passo 3

Agora, para calcular a integral de superfície, precisamos parametrizar o cone. É útil usar coordenadas cilíndricas, onde , , e , já que . Aqui, varia de 0 a 1 (porque ) e varia de 0 a .

Passo 4

Em coordenadas cilíndricas, um elemento de superfície no cone pode ser encontrado usando o vetor normal. Para o cone , a normal pode ser calculada a partir das derivadas parciais. Após cálculo, obtemos . A direção escolhida é para cima, conforme a orientação do problema.

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto escalar F cdot dS = (2 i + 5 j + 3 k) cdot 1raiz2( -cos theta i - sin theta j + k) r dr dtheta :
= 1raiz2 ( -2 cos theta - 5 sin theta + 3 ) r dr dtheta
Multiplicando os vetores:

Passo 6

Finalmente, vamos integrar essa expressão sobre integral duplaS F cdot dS = 1raiz2 integral0^2pi integral0^1 ( -2 cos theta - 5 sin theta + 3 ) r dr dtheta de 0 a 1 e = 1raiz2 integral0^2pi [ -2 cos theta cdot 12 + -5 sin theta cdot 12 + 3 cdot 12 ] dtheta de 0 a = 1raiz2 integral0^2pi ( -cos theta - 52 sin theta + 32 ) dtheta :
= 1raiz2 cdot 32 cdot 2pi = 3piraiz2
Integrando em :
Simplificando:
As integrais de e de 0 a são zero, então restam:

Resposta

A integral de superfície vale .

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