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Esboce o gráfico das funções abaixo:

Parabolóides:

a) f(x, y) = x^2 + y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente esboçar o gráfico da função . Isso está ligado ao estudo de superfícies no espaço tridimensional, mais especificamente aos parabolóides. Para resolver, vamos precisar entender como essa função se comporta quando variamos os valores de e .

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função . Essa função pega dois valores, e , e retorna a soma dos seus quadrados. Geometricamente, isso significa que para cada par de , temos um ponto no espaço tridimensional com coordenada .

Passo 3

Sabendo que , percebemos que, para cada valor fixo de , a equação representa um círculo no plano com raio . Isso nos dá uma pista de como a superfície se comporta: ela é formada por círculos concêntricos que aumentam de tamanho conforme aumenta.

Passo 4

Vamos pensar nos contornos da superfície. À medida que aumenta, os círculos no plano vão aumentando de raio. Isso cria uma forma que se abre para cima, similar a uma tigela ou uma parábola esticada no espaço tridimensional. Esse tipo de superfície é chamado de parabolóide elíptico.

Passo 5

Para esboçar o gráfico, podemos começar desenhando o eixo vertical e os eixos e no plano horizontal. Em seguida, trace alguns círculos para valores positivos de , cada um com raio crescente. Conectando esses círculos, formamos a superfície do parabolóide.

Resposta

O gráfico da função é um parabolóide elíptico que se abre para cima, formando uma superfície semelhante a uma tigela onde, para cada valor de , há um círculo no plano com raio .

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