2
Esboce o gráfico das funções abaixo:
Parabolóides:
a)
Esboce o gráfico das funções abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente esboçar o gráfico da função
. Isso está ligado ao estudo de superfícies no espaço tridimensional, mais especificamente aos parabolóides. Para resolver, vamos precisar entender como essa função se comporta quando variamos os valores de
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função
. Essa função pega dois valores,
e
, e retorna a soma dos seus quadrados. Geometricamente, isso significa que para cada par de
, temos um ponto no espaço tridimensional com coordenada
.
Passo 3
Sabendo que
, percebemos que, para cada valor fixo de
, a equação
representa um círculo no plano
com raio
. Isso nos dá uma pista de como a superfície se comporta: ela é formada por círculos concêntricos que aumentam de tamanho conforme
aumenta.
Passo 4
Vamos pensar nos contornos da superfície. À medida que
aumenta, os círculos no plano
vão aumentando de raio. Isso cria uma forma que se abre para cima, similar a uma tigela ou uma parábola esticada no espaço tridimensional. Esse tipo de superfície é chamado de parabolóide elíptico.
Passo 5
Para esboçar o gráfico, podemos começar desenhando o eixo
vertical e os eixos
e
no plano horizontal. Em seguida, trace alguns círculos para valores positivos de
, cada um com raio crescente. Conectando esses círculos, formamos a superfície do parabolóide.
Resposta
O gráfico da função
é um parabolóide elíptico que se abre para cima, formando uma superfície semelhante a uma tigela onde, para cada valor de
, há um círculo no plano
com raio
.