Considere a sequência para . Mostre que a sequência converge e calcule o seu limite.

Passo 1

Neste exercício, temos uma sequência definida por e para . Nosso objetivo é mostrar que essa sequência converge e encontrar o seu limite. Para isso, vamos utilizar conceitos de sequências convergentes e resolver uma equação que nos ajudará a determinar o valor final.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a sequência de fato converge para um limite . Isso significa que, conforme aumenta, os termos da sequência ficam cada vez mais próximos de .

Passo 3

Como converge para , também converge para . Podemos substituir e por na relação de recorrência:

Passo 4

Agora, vamos resolver a equação para encontrar o valor de :
Subtraindo de ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por 2:

Resposta

A sequência converge para o limite .

Exercícios relacionados

Duas piscinas têm o mesmo comprimento, a mesma largura e profundidades diferentes. A piscina A tem 1,75 m de profundidade e um volume de água de . Qual é o volume de água da piscina B , que tem 2 m de profundidade?
Um relógio adianta 40 segundos em 6 dias. Quantos minutos adiantará em 54 dias?
Mostre que:
Expresse em termos das derivadas parciais de , sendo e .