Considere a sequência a1 = 2, a(n+1) = 1/2 * (a(n) + 6) para n = 1, 2, 3, .... Mostre que a sequência a_n converge e calcule o seu limite.

Passo 1

Neste exercício, temos uma sequência definida por e para . Nosso objetivo é mostrar que essa sequência converge e encontrar o seu limite. Para isso, vamos utilizar conceitos de sequências convergentes e resolver uma equação que nos ajudará a determinar o valor final.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a sequência de fato converge para um limite . Isso significa que, conforme aumenta, os termos da sequência ficam cada vez mais próximos de .

Passo 3

Como converge para , também converge para . Podemos substituir e por na relação de recorrência:

Passo 4

Agora, vamos resolver a equação para encontrar o valor de :
Subtraindo de ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por 2:

Resposta

A sequência converge para o limite .

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