Considere a sequência
para
. Mostre que a sequência
converge e calcule o seu limite.
Passo 1
Neste exercício, temos uma sequência definida por
e
para
. Nosso objetivo é mostrar que essa sequência converge e encontrar o seu limite. Para isso, vamos utilizar conceitos de sequências convergentes e resolver uma equação que nos ajudará a determinar o valor final.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a sequência
de fato converge para um limite
. Isso significa que, conforme
aumenta, os termos da sequência ficam cada vez mais próximos de
.
Passo 3
Como
converge para
, também
converge para
. Podemos substituir
e
por
na relação de recorrência:
Passo 4
Agora, vamos resolver a equação para encontrar o valor de
:
Subtraindo
de ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Resposta
A sequência
converge para o limite
.
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Expresse
em termos das derivadas parciais de
, sendo
e
.