Expresse em termos das derivadas parciais de , sendo e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema que envolve derivadas e funções de várias variáveis. A gente quer encontrar como z muda em relação ao tempo (dz/dt) quando z depende de x e y, que por sua vez dependem do tempo t. Para resolver isso, vamos usar a regra da cadeia e as derivadas parciais. Vai ser tranquilo, eu explico cada passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender as relações que temos:
Queremos encontrar , que é a taxa de variação de z com relação ao tempo t.
Para isso, usamos a regra da cadeia, que nos ajuda a relacionar derivadas quando temos funções compostas. No caso, z depende de x e y, e x e y dependem de t.
A regra da cadeia para funções de várias variáveis diz que:
Aqui, e são as derivadas parciais de f em relação a x e y, respectivamente. E e são as derivadas de x e y em relação a t.
Vamos calcular cada uma delas:
  1. Calcular :
    Sabemos que . A derivada de é , então:
  2. Calcular :
    Sabemos que . A derivada de é , então:
Agora, substituímos tudo na regra da cadeia:
Simplificando um pouquinho:

Resposta

Exercícios relacionados

Mostre que:
Considere a sequência para . Mostre que a sequência converge e calcule o seu limite.
Encontre o termo geral de cada sequência.
A sequência de termos é chamada de sequência de Fibonacci.
Seja . Mostre que .