Mostre que:
Passo 1
Então, vamos lá! A gente precisa mostrar que, quando
cresce sem parar, a soma
se aproxima de zero. Aqui, estamos trabalhando com limites e somas de termos que diminuem conforme
aumenta. Para resolver isso, vamos analisar cada termo da soma e ver como o número de termos e o tamanho de cada termo se comportam quando
fica muito grande.
Passo 2
Primeiro, vamos contar quantos termos tem nessa soma. A soma vai de
até
, ou seja, temos:
Mas como
está crescendo para o infinito, o
vira irrelevante, então podemos pensar que são aproximadamente
termos.
Passo 3
Agora, vamos ver o tamanho de cada termo. Cada termo da soma é da forma
, onde
varia de
a
. Como
está pelo menos valendo
, temos que:
ou seja, cada termo é menor ou igual a
.
Passo 4
Com
termos, cada um menor ou igual a
, podemos estimar a soma total por:
Então, a soma toda é no máximo igual a
.
Passo 5
Agora, vamos analisar o limite de
quando
vai para o infinito:
Isso significa que, conforme
fica cada vez maior,
se aproxima de zero.
Resposta
O limite é zero.