Mostre que:

Passo 1

Então, vamos lá! A gente precisa mostrar que, quando cresce sem parar, a soma se aproxima de zero. Aqui, estamos trabalhando com limites e somas de termos que diminuem conforme aumenta. Para resolver isso, vamos analisar cada termo da soma e ver como o número de termos e o tamanho de cada termo se comportam quando fica muito grande.

Passo 2

Primeiro, vamos contar quantos termos tem nessa soma. A soma vai de até , ou seja, temos: Mas como está crescendo para o infinito, o vira irrelevante, então podemos pensar que são aproximadamente termos.

Passo 3

Agora, vamos ver o tamanho de cada termo. Cada termo da soma é da forma , onde varia de a . Como está pelo menos valendo , temos que: ou seja, cada termo é menor ou igual a .

Passo 4

Com termos, cada um menor ou igual a , podemos estimar a soma total por: Então, a soma toda é no máximo igual a .

Passo 5

Agora, vamos analisar o limite de quando vai para o infinito: Isso significa que, conforme fica cada vez maior, se aproxima de zero.

Resposta

O limite é zero.

Exercícios relacionados

Considere a sequência para . Mostre que a sequência converge e calcule o seu limite.
Duas piscinas têm o mesmo comprimento, a mesma largura e profundidades diferentes. A piscina A tem 1,75 m de profundidade e um volume de água de . Qual é o volume de água da piscina B , que tem 2 m de profundidade?
Expresse em termos das derivadas parciais de , sendo e .
Encontre o termo geral de cada sequência.