Mostre que:
lim n infty 1n^2+1(n+1)^2+cdots+1(2 n)^2=0

Passo 1

Então, vamos lá! A gente precisa mostrar que, quando 1n^2 + 1(n+1)^2 + cdots + 1(2n)^2 cresce sem parar, a soma
se aproxima de zero. Aqui, estamos trabalhando com limites e somas de termos que diminuem conforme aumenta. Para resolver isso, vamos analisar cada termo da soma e ver como o número de termos e o tamanho de cada termo se comportam quando fica muito grande.

Passo 2

Primeiro, vamos contar quantos termos tem nessa soma. A soma vai de 2n - n + 1 = n + 1 termos até , ou seja, temos:
Mas como está crescendo para o infinito, o vira irrelevante, então podemos pensar que são aproximadamente termos.

Passo 3

Agora, vamos ver o tamanho de cada termo. Cada termo da soma é da forma 1k^2 <= 1n^2 , onde varia de a . Como está pelo menos valendo , temos que:
ou seja, cada termo é menor ou igual a .

Passo 4

Com Soma <= n times 1n^2 = nn^2 = 1n termos, cada um menor ou igual a , podemos estimar a soma total por:
Então, a soma toda é no máximo igual a .

Passo 5

Agora, vamos analisar o limite de limn to infty 1n = 0 quando vai para o infinito:
Isso significa que, conforme fica cada vez maior, se aproxima de zero.

Resposta

O limite é zero.

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