Mostre que:
Passo 1
Então, vamos lá! A gente precisa mostrar que, quando cresce sem parar, a soma
se aproxima de zero. Aqui, estamos trabalhando com limites e somas de termos que diminuem conforme aumenta. Para resolver isso, vamos analisar cada termo da soma e ver como o número de termos e o tamanho de cada termo se comportam quando fica muito grande.
Passo 2
Primeiro, vamos contar quantos termos tem nessa soma. A soma vai de até , ou seja, temos:
Mas como está crescendo para o infinito, o vira irrelevante, então podemos pensar que são aproximadamente termos.
Passo 3
Agora, vamos ver o tamanho de cada termo. Cada termo da soma é da forma , onde varia de a . Como está pelo menos valendo , temos que:
ou seja, cada termo é menor ou igual a .
Passo 4
Com termos, cada um menor ou igual a , podemos estimar a soma total por:
Então, a soma toda é no máximo igual a .
Passo 5
Agora, vamos analisar o limite de quando vai para o infinito:
Isso significa que, conforme fica cada vez maior, se aproxima de zero.
Resposta
O limite é zero.
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Encontre o termo geral de cada sequência.