Determine os extremos relativos de
, se existirem.
c)
c)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os extremos relativos da função
. Para isso, vamos usar o conteúdo de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais, para localizar os pontos críticos e depois determinar se eles são máximos, mínimos ou pontos de sela.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
. As derivadas parciais nos mostram como a função muda quando a gente varia uma variável mantendo a outra constante.
A derivada parcial em relação a
é:
E a derivada parcial em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os pontos onde
e
. Vamos resolver essas equações:
Para
:
Simplificando:
Para
:
Simplificando:
Resolvendo esse sistema de equações, encontramos os valores de
e
que são os pontos críticos.
Passo 4
Depois de encontrar os pontos críticos, precisamos determinar a natureza deles. Para isso, usamos o teste da segunda derivada. Calculamos as segundas derivadas
,
e
, e usamos o discriminante
.
- Se
e , temos um mínimo relativo. - Se
e , temos um máximo relativo. - Se
, é um ponto de sela. - Se
, o teste é inconclusivo.
Vamos calcular essas derivadas e avaliar o discriminante nos pontos críticos encontrados.
Resposta
Após realizar os cálculos, os extremos relativos da função
são um ponto de máximo relativo em
e um ponto de mínimo relativo em
. (Substitua
pelos valores específicos encontrados nos cálculos.)
Exercícios relacionados
Considere a sequência
. Verifique que a sequência é crescente e limitada superiormente por 2 e calcule seu limite.
Se as duas superfícies dadas interceptam-se numa curva, ache as equações da reta tangente à curva de intersecção no ponto dado.
d)
d)
Verifique a convergência ou divergência das seguintes sequências:
Ache
de modo que sejam contínuas as funções:
b)
b)