Determine os extremos relativos de , se existirem.
c)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os extremos relativos da função . Para isso, vamos usar o conteúdo de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais, para localizar os pontos críticos e depois determinar se eles são máximos, mínimos ou pontos de sela.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e . As derivadas parciais nos mostram como a função muda quando a gente varia uma variável mantendo a outra constante.
A derivada parcial em relação a é:
E a derivada parcial em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os pontos onde e . Vamos resolver essas equações:
Para :
Simplificando:
Para :
Simplificando:
Resolvendo esse sistema de equações, encontramos os valores de e que são os pontos críticos.

Passo 4

Depois de encontrar os pontos críticos, precisamos determinar a natureza deles. Para isso, usamos o teste da segunda derivada. Calculamos as segundas derivadas , e , e usamos o discriminante .
  • Se e , temos um mínimo relativo.
  • Se e , temos um máximo relativo.
  • Se , é um ponto de sela.
  • Se , o teste é inconclusivo.
Vamos calcular essas derivadas e avaliar o discriminante nos pontos críticos encontrados.

Resposta

Após realizar os cálculos, os extremos relativos da função são um ponto de máximo relativo em e um ponto de mínimo relativo em . (Substitua pelos valores específicos encontrados nos cálculos.)

Exercícios relacionados

Considere a sequência . Verifique que a sequência é crescente e limitada superiormente por 2 e calcule seu limite.
Se as duas superfícies dadas interceptam-se numa curva, ache as equações da reta tangente à curva de intersecção no ponto dado.
d)
Verifique a convergência ou divergência das seguintes sequências:
Ache de modo que sejam contínuas as funções:
b)