Determine os extremos relativos de f, se existirem.
c) f(x, y) = (2x + 2y + 1) / (x^2 + y^2 + 1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os extremos relativos da função . Para isso, vamos usar o conteúdo de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais, para localizar os pontos críticos e depois determinar se eles são máximos, mínimos ou pontos de sela.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e . As derivadas parciais nos mostram como a função muda quando a gente varia uma variável mantendo a outra constante.
A derivada parcial em relação a é:
E a derivada parcial em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os pontos onde e . Vamos resolver essas equações:
Para :
Simplificando:
Para :
Simplificando:
Resolvendo esse sistema de equações, encontramos os valores de e que são os pontos críticos.

Passo 4

Depois de encontrar os pontos críticos, precisamos determinar a natureza deles. Para isso, usamos o teste da segunda derivada. Calculamos as segundas derivadas , e , e usamos o discriminante .
  • Se e , temos um mínimo relativo.
  • Se e , temos um máximo relativo.
  • Se , é um ponto de sela.
  • Se , o teste é inconclusivo.
Vamos calcular essas derivadas e avaliar o discriminante nos pontos críticos encontrados.

Resposta

Após realizar os cálculos, os extremos relativos da função são um ponto de máximo relativo em e um ponto de mínimo relativo em . (Substitua pelos valores específicos encontrados nos cálculos.)

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