Verifique a convergência ou divergência das seguintes sequências:
Passo 1
Então, bora lá entender o que a questão tá pedindo! A gente tem uma sequência definida por
. Isso significa que pra cada valor de
, a gente soma os termos
começando de
até
. O conteúdo que vamos usar aqui é sobre convergência de séries e testes de convergência. Precisaremos entender como aplicar o Teste da Integral ou o Teste da Condensação de Cauchy pra ver se essa série vai somar pra um número finito ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma série converger ou divergir. Se a soma dos termos tende a um número específico conforme
cresce infinitamente, dizemos que a série converge. Se não, ou seja, se a soma cresce sem limites, a série diverge.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teste da Integral. Esse teste diz que se tivermos uma função contínua, positiva e decrescente
, então a série
converge se e somente se a integral
converge.
No nosso caso,
. Essa função é contínua, positiva e decrescente para
, então podemos usar o teste.
Passo 4
Vamos calcular a integral
.
Fazendo uma substituição: seja
, então
, o que implica
. Substituindo na integral:
Passo 5
A integral
é conhecida como Função Integral Exponencial, denotada por
. Sabemos que
diverge para o infinito à medida que
vai para
. Portanto, a integral
também diverge.
Passo 6
Como a integral diverge, pelo Teste da Integral, concluímos que a série
também diverge. Isso significa que a sequência
não tem um limite finito e cresce sem limites conforme
aumenta.
Resposta
A sequência
diverge.
Exercícios relacionados
Determine os extremos relativos de
, se existirem.
c)
c)
Considere a sequência
. Verifique que a sequência é crescente e limitada superiormente por 2 e calcule seu limite.
Ache
de modo que sejam contínuas as funções:
b)
b)
Ache três números positivos cuja soma é 24 , de modo que o produto deles seja o maior possível.