Verifique a convergência ou divergência das seguintes sequências:

Passo 1

Então, bora lá entender o que a questão tá pedindo! A gente tem uma sequência definida por . Isso significa que pra cada valor de , a gente soma os termos começando de até . O conteúdo que vamos usar aqui é sobre convergência de séries e testes de convergência. Precisaremos entender como aplicar o Teste da Integral ou o Teste da Condensação de Cauchy pra ver se essa série vai somar pra um número finito ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma série converger ou divergir. Se a soma dos termos tende a um número específico conforme cresce infinitamente, dizemos que a série converge. Se não, ou seja, se a soma cresce sem limites, a série diverge.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Integral. Esse teste diz que se tivermos uma função contínua, positiva e decrescente , então a série converge se e somente se a integral converge.
No nosso caso, . Essa função é contínua, positiva e decrescente para , então podemos usar o teste.

Passo 4

Vamos calcular a integral .
Fazendo uma substituição: seja , então , o que implica . Substituindo na integral:

Passo 5

A integral é conhecida como Função Integral Exponencial, denotada por . Sabemos que diverge para o infinito à medida que vai para . Portanto, a integral também diverge.

Passo 6

Como a integral diverge, pelo Teste da Integral, concluímos que a série também diverge. Isso significa que a sequência não tem um limite finito e cresce sem limites conforme aumenta.

Resposta

A sequência diverge.

Exercícios relacionados

Determine os extremos relativos de , se existirem.
c)
Considere a sequência . Verifique que a sequência é crescente e limitada superiormente por 2 e calcule seu limite.
Ache de modo que sejam contínuas as funções:
b)
Ache três números positivos cuja soma é 24 , de modo que o produto deles seja o maior possível.