Considere a sequência , cujo termo geral é dado por . Observando por exemplo, e , o existe? Como é conhecido o valor deste limite na matemática?

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma sequência definida por . A pergunta é: esse limite existe? E se existir, qual é o valor conhecido desse limite na matemática? Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um limite de sequência e conhecer o número especial .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o limite de uma sequência. Basicamente, estamos vendo para onde os termos da sequência estão “indo” quando fica muito grande, quase chegando ao infinito. No nosso caso, queremos saber o que acontece com quando cresce sem parar.

Passo 3

Agora, vamos analisar a expressão . Quando aumenta, fica cada vez menor. Então, estamos elevando um número que está se aproximando de 1 a uma potência que está aumentando. Esse tipo de expressão é famosa porque se relaciona com o número , que é aproximadamente 2.71828.

Passo 4

Para ver o que acontece, vamos calcular alguns termos da sequência:
  • Quando :
  • Quando :
Observamos que, conforme aumenta, está se aproximando de um valor fixo.

Passo 5

Na matemática, sabemos que . O número é uma constante irracional muito importante, que aparece em vários contextos, especialmente em crescimento exponencial e cálculo.

Resposta

Sim, o limite existe e é igual a , onde .

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Supondo , prove que ou .
Prove que
Prove que .
Dados dois números naturais , definimos intuitivamente, a multiplicação , como sendo a soma de n com n , um número m de vezes. Onde . Calcule: