Considere a sequência
, cujo termo geral é dado por
. Observando por exemplo,
e
, o
existe? Como é conhecido o valor deste limite na matemática?
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma sequência definida por
. A pergunta é: esse limite
existe? E se existir, qual é o valor conhecido desse limite na matemática? Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um limite de sequência e conhecer o número especial
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o limite de uma sequência. Basicamente, estamos vendo para onde os termos da sequência estão “indo” quando
fica muito grande, quase chegando ao infinito. No nosso caso, queremos saber o que acontece com
quando
cresce sem parar.
Passo 3
Agora, vamos analisar a expressão
. Quando
aumenta,
fica cada vez menor. Então, estamos elevando um número que está se aproximando de 1 a uma potência que está aumentando. Esse tipo de expressão é famosa porque se relaciona com o número
, que é aproximadamente 2.71828.
Passo 4
Para ver o que acontece, vamos calcular alguns termos da sequência:
- Quando
: - Quando
:
Observamos que, conforme
aumenta,
está se aproximando de um valor fixo.
Passo 5
Na matemática, sabemos que
. O número
é uma constante irracional muito importante, que aparece em vários contextos, especialmente em crescimento exponencial e cálculo.
Resposta
Sim, o limite
existe e é igual a
, onde
.
Exercícios relacionados
Supondo
, prove que
ou
.
Prove que
Prove que
.
Dados dois números naturais
, definimos intuitivamente, a multiplicação
, como sendo a soma de n com n , um número m de vezes. Onde
. Calcule: