Supondo r>0, prove que |x|>r Leftrightarrow x<-r ou x>r.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que, se , então é o mesmo que dizer que ou . Isso está dentro da matéria de Valor Absoluto e Inequações. Para resolver, vamos lembrar como o valor absoluto funciona e aplicar isso para mostrar a equivalência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . O valor absoluto de , representado por , é a distância de até zero na reta numérica, sempre sendo um número não negativo. Então, significa que a distância de até zero é maior que .

Passo 3

Agora, vamos traduzir essa ideia de distância para condições sobre . Se a distância de até zero é maior que , isso quer dizer que está a mais de unidades de zero. Isso pode acontecer de duas maneiras:
  1. está unidades à esquerda de zero, ou seja, .
  2. está unidades à direita de zero, ou seja, .

Passo 4

Assim, concluímos que se traduz nas duas condições ou . Isso mostra que a afirmação ou é verdadeira.

Resposta

Portanto, provamos que é equivalente a ou .

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