Prove que a^n+1-1=(a-1)(1+a+cdots+a^n), a, n in N

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que provar que onde e são números naturais. Isso está relacionado ao conteúdo de progressões geométricas e álgebra. Para resolver, vamos precisar entender como somar uma sequência geométrica e usar propriedades de fatoração.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a soma . Isso é uma progressão geométrica onde cada termo é vezes o termo anterior.

Passo 3

Agora, vamos multiplicar essa soma (a - 1)S = (a - 1)(1 + a + a^2 + cdots + a^n) pelo . Então temos:

Passo 4

Vamos distribuir o (a - 1)S = a(1) + a(a) + a(a^2) + cdots + a(a^n) - 1(1) - 1(a) - 1(a^2) - cdots - 1(a^n) dentro da soma:
= a + a^2 + a^3 + cdots + a^n+1 - 1 - a - a^2 - cdots - a^n
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos ver o que acontece quando subtraímos as duas somas:
a + a^2 + a^3 + cdots + a^n+1 - 1 - a - a^2 - cdots - a^n
Muitos termos se cancelam:
  • O a^n+1 - 1 com
  • O com
  • E assim por diante, até o com
Só restam:

Resposta

Portanto, mostramos que , provando a igualdade.

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