Prove que

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que provar que onde e são números naturais. Isso está relacionado ao conteúdo de progressões geométricas e álgebra. Para resolver, vamos precisar entender como somar uma sequência geométrica e usar propriedades de fatoração.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a soma . Isso é uma progressão geométrica onde cada termo é vezes o termo anterior.

Passo 3

Agora, vamos multiplicar essa soma pelo . Então temos:

Passo 4

Vamos distribuir o dentro da soma:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos ver o que acontece quando subtraímos as duas somas:
Muitos termos se cancelam:
  • O com
  • O com
  • E assim por diante, até o com
Só restam:

Resposta

Portanto, mostramos que , provando a igualdade.

Exercícios relacionados

Dados dois números naturais , definimos intuitivamente, a multiplicação , como sendo a soma de n com n , um número m de vezes. Onde . Calcule:
Determine o conjunto solução da inequação .
Supondo , prove que ou .
Considere a sequência , cujo termo geral é dado por . Observando por exemplo, e , o existe? Como é conhecido o valor deste limite na matemática?