Prove que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que provar que
onde
e
são números naturais. Isso está relacionado ao conteúdo de progressões geométricas e álgebra. Para resolver, vamos precisar entender como somar uma sequência geométrica e usar propriedades de fatoração.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a soma
. Isso é uma progressão geométrica onde cada termo é
vezes o termo anterior.
Passo 3
Agora, vamos multiplicar essa soma
pelo
. Então temos:
Passo 4
Vamos distribuir o
dentro da soma:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos ver o que acontece quando subtraímos as duas somas:
Muitos termos se cancelam:
- O
com - O
com - E assim por diante, até o
com
Só restam:
Resposta
Portanto, mostramos que
, provando a igualdade.
Exercícios relacionados
Dados dois números naturais
, definimos intuitivamente, a multiplicação
, como sendo a soma de n com n , um número m de vezes. Onde
. Calcule:
Determine o conjunto solução da inequação
.
Supondo
, prove que
ou
.
Considere a sequência
, cujo termo geral é dado por
. Observando por exemplo,
e
, o
existe? Como é conhecido o valor deste limite na matemática?