Prove que s^m(n)=s^n(m).

Passo 1

Beleza, vamos por partes! O exercício pede para provar que . Aqui, a gente está trabalhando com a função sucessor, que basicamente adiciona 1 a um número. O conteúdo aqui envolve funções iteradas, ou seja, aplicar uma função várias vezes seguidas. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função sucessor funciona e como aplicá-la repetidamente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a função sucessor. A função s(x) = x + 1 é definida por:
Isso significa que, ao aplicar a um número , a gente simplesmente adiciona 1 a ele.

Passo 3

Agora, quando a gente vê s^m(n) = n + m , isso significa que estamos aplicando a função de vezes no número . Vamos ver o que acontece:
  • Primeiro, aplicamos uma vez:
  • Depois, aplicamos de novo:
  • E assim por diante, até aplicar vezes, o que resulta em
Portanto:

Passo 4

Da mesma forma, s^n(m) = m + n significa que aplicamos a função de vezes no número . Vamos seguir o mesmo raciocínio:
  • Aplicando uma vez:
  • Aplicando de novo:
  • Continuando até aplicar vezes, o que dá
Então:

Passo 5

Agora, olhamos para as duas expressões que obtivemos:
s^m(n) = n + m
s^n(m) = m + n
Sabemos que a adição é comutativa, ou seja, s^m(n) = s^n(m) . Portanto:

Resposta

Provar que se resume a mostrar que , o que é verdadeiro porque a adição é comutativa.

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