Prove que
.
Passo 1
Beleza, vamos por partes! O exercício pede para provar que
. Aqui, a gente está trabalhando com a função sucessor, que basicamente adiciona 1 a um número. O conteúdo aqui envolve funções iteradas, ou seja, aplicar uma função várias vezes seguidas. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função sucessor funciona e como aplicá-la repetidamente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a função sucessor. A função
é definida por:
Isso significa que, ao aplicar
a um número
, a gente simplesmente adiciona 1 a ele.
Passo 3
Agora, quando a gente vê
, isso significa que estamos aplicando a função
de
vezes no número
. Vamos ver o que acontece:
- Primeiro, aplicamos
uma vez: - Depois, aplicamos de novo:
- E assim por diante, até aplicar
vezes, o que resulta em
Portanto:
Passo 4
Da mesma forma,
significa que aplicamos a função
de
vezes no número
. Vamos seguir o mesmo raciocínio:
- Aplicando
uma vez: - Aplicando de novo:
- Continuando até aplicar
vezes, o que dá
Então:
Passo 5
Agora, olhamos para as duas expressões que obtivemos:
Sabemos que a adição é comutativa, ou seja,
. Portanto:
Resposta
Provar que
se resume a mostrar que
, o que é verdadeiro porque a adição é comutativa.
Exercícios relacionados
Considere a sequência
, cujo termo geral é dado por
. Observando por exemplo,
e
, o
existe? Como é conhecido o valor deste limite na matemática?
Supondo
, prove que
ou
.
Dados dois números naturais
, definimos intuitivamente, a multiplicação
, como sendo a soma de n com n , um número m de vezes. Onde
. Calcule:
Usando indução, mostre que:
, onde
e x ,
.