Prove que .

Passo 1

Beleza, vamos por partes! O exercício pede para provar que . Aqui, a gente está trabalhando com a função sucessor, que basicamente adiciona 1 a um número. O conteúdo aqui envolve funções iteradas, ou seja, aplicar uma função várias vezes seguidas. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função sucessor funciona e como aplicá-la repetidamente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a função sucessor. A função é definida por:
Isso significa que, ao aplicar a um número , a gente simplesmente adiciona 1 a ele.

Passo 3

Agora, quando a gente vê , isso significa que estamos aplicando a função de vezes no número . Vamos ver o que acontece:
  • Primeiro, aplicamos uma vez:
  • Depois, aplicamos de novo:
  • E assim por diante, até aplicar vezes, o que resulta em
Portanto:

Passo 4

Da mesma forma, significa que aplicamos a função de vezes no número . Vamos seguir o mesmo raciocínio:
  • Aplicando uma vez:
  • Aplicando de novo:
  • Continuando até aplicar vezes, o que dá
Então:

Passo 5

Agora, olhamos para as duas expressões que obtivemos:
Sabemos que a adição é comutativa, ou seja, . Portanto:

Resposta

Provar que se resume a mostrar que , o que é verdadeiro porque a adição é comutativa.

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Considere a sequência , cujo termo geral é dado por . Observando por exemplo, e , o existe? Como é conhecido o valor deste limite na matemática?
Supondo , prove que ou .
Dados dois números naturais , definimos intuitivamente, a multiplicação , como sendo a soma de n com n , um número m de vezes. Onde . Calcule:
Usando indução, mostre que: , onde e x , .