Considere a sequência (an) dada por:
a1=1 e an+1=1+raizan, para n >= 2
Mostre que a sequência (an) é limitada e crescente. Podemos admitir que ela seja convergente, em caso positivo determine a=lim n +infty an.

Passo 1

Vamos entender qual é o problema. A gente tem uma sequência definida por e para . O objetivo é mostrar que essa sequência é limitada e crescente, e se ela converge, encontrar o valor do limite . Para resolver isso, vamos usar conceitos de sequências monótonas e limitadas da Matemática, além de propriedades de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a sequência é crescente. Isso significa que cada termo é maior ou igual ao termo anterior. Vamos ver isso:
Temos a2 = 1 + raiza1 = 1 + raiz1 = 1 + 1 = 2 .
Calculando an+1 = 1 + raizan > 1 + raizan-1 = an :
Como , .
Agora, suponha que . Então:
Portanto, por indução, a sequência é crescente.

Passo 3

Agora, vamos mostrar que a sequência é limitada. Precisamos encontrar um número que seja maior que todos os termos da sequência. Vamos supor que existe um limite máximo L = 1 + raizL .
Sabemos que a sequência é crescente, então se ela é limitada, ela converge. Vamos encontrar esse .
Assumindo que converge para , tomando o limite nos dois lados da definição da sequência:
Agora, vamos resolver essa equação para .

Passo 4

Resolvendo a equação L - 1 = raizL :
Subtraindo 1 de ambos os lados:
(L - 1)^2 = L
Elevando ao quadrado ambos os lados para eliminar a raiz:
L^2 - 2L + 1 = L
Expandindo o lado esquerdo:
L^2 - 3L + 1 = 0
Reorganizando os termos:
L = 3 pm raiz9 - 42 = 3 pm raiz52
Agora, resolvemos essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
L = 3 + raiz52
Como deve ser positivo, descartamos a solução negativa:

Resposta

O limite da sequência é .

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