Considere a sequência
dada por:
Mostre que a sequência
é limitada e crescente. Podemos admitir que ela seja convergente, em caso positivo determine
.
Passo 1
Vamos entender qual é o problema. A gente tem uma sequência definida por
e
para
. O objetivo é mostrar que essa sequência é limitada e crescente, e se ela converge, encontrar o valor do limite
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de sequências monótonas e limitadas da Matemática, além de propriedades de limites.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a sequência é crescente. Isso significa que cada termo é maior ou igual ao termo anterior. Vamos ver isso:
Temos
.
Calculando
:
Como
,
.
Agora, suponha que
. Então:
Portanto, por indução, a sequência é crescente.
Passo 3
Agora, vamos mostrar que a sequência é limitada. Precisamos encontrar um número que seja maior que todos os termos da sequência. Vamos supor que existe um limite máximo
.
Sabemos que a sequência é crescente, então se ela é limitada, ela converge. Vamos encontrar esse
.
Assumindo que
converge para
, tomando o limite nos dois lados da definição da sequência:
Agora, vamos resolver essa equação para
.
Passo 4
Resolvendo a equação
:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Elevando ao quadrado ambos os lados para eliminar a raiz:
Expandindo o lado esquerdo:
Reorganizando os termos:
Agora, resolvemos essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Como
deve ser positivo, descartamos a solução negativa:
Resposta
O limite da sequência é
.
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