Determine se a série convergente ou divergente.
c)
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se a série
é convergente ou divergente. Isso está relacionado com o estudo de séries infinitas, que são somas que continuam para sempre. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries geométricas, que são um tipo específico de série infinita onde cada termo é uma constante multiplicada pelo termo anterior.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série para identificar se ela é uma série geométrica. Observando o termo
, podemos reescrever da seguinte forma:
Agora, a série fica:
Isso mostra que a série é uma série geométrica com a razão
.
Passo 3
Para uma série geométrica da forma
, onde
é o primeiro termo e
é a razão, a série converge se
e diverge se
.
No nosso caso, a razão
, e
, que é menor que 1. Portanto, a série converge.
Além disso, podemos até encontrar a soma da série usando a fórmula da soma de uma série geométrica infinita convergente:
Onde
. Então,
Resposta
A série é convergente.
Exercícios relacionados
Considere a sequência
dada por:
Mostre que a sequência
é limitada e crescente. Podemos admitir que ela seja convergente, em caso positivo determine
.
Determine se a sequência é convergente ou divergente, em caso de convergência calcule seu limite.
- i)
Determine se a série convergente ou divergente.
f)
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Determine se a série convergente ou divergente.
b)
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