Determine se a sequência é convergente ou divergente, em caso de convergência calcule seu limite.
- g)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a sequência
e precisamos descobrir se ela converge ou diverge. Se ela convergir, a gente também vai calcular o limite. Para resolver isso, vamos usar conceitos de progressões geométricas e limites de sequências.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da sequência para facilitar a análise. Podemos reescrever
como
, então:
Passo 3
Agora, observe que a sequência está na forma
. Aqui,
é uma progressão geométrica onde a razão é
.
Passo 4
Para determinar o comportamento da sequência quando
tende ao infinito, analisamos a razão
. Como
é menor que 1, e maior que -1, sabemos que
tende a zero conforme
aumenta.
Passo 5
Multiplicando esse limite por 9, temos:
Resposta
A sequência
é convergente e seu limite é 0.
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- f)
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- e)
Determine se a sequência é convergente ou divergente, em caso de convergência calcule seu limite.
- i)
Considere a sequência
dada por:
Mostre que a sequência
é limitada e crescente. Podemos admitir que ela seja convergente, em caso positivo determine
.