Determine se a série convergente ou divergente.
f)
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir se a série
converge ou diverge. Pra resolver isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e testes de convergência, como o Teste da Comparação.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada geral na expressão da série:
. Note que tanto o numerador quanto o denominador têm termos com
, então queremos simplificar para entender o comportamento dessa fração quando
fica bem grande.
Passo 3
Observando
, quando
cresce,
domina o denominador. Então, podemos aproximar a fração para valores grandes de
como
. Isso nos dá uma ideia de que a série se comporta de maneira semelhante à série
, conhecida como série harmônica.
Passo 4
A série harmônica,
, é famosa por ser divergente, ou seja, ela não tem uma soma finita. Para confirmar que nossa série original tem o mesmo comportamento, vamos usar o Teste da Comparação.
Passo 5
No Teste da Comparação, comparamos nossa série com uma série conhecida. Definimos:
e
Calculamos o limite:
Como o limite é uma constante positiva (1), o teste nos diz que ambas as séries têm o mesmo comportamento. Já que a série harmônica diverge, nossa série também diverge.
Resposta
A série
é divergente.
Exercícios relacionados
Determine se a série convergente ou divergente.
c)
c)
Considere a sequência
dada por:
Mostre que a sequência
é limitada e crescente. Podemos admitir que ela seja convergente, em caso positivo determine
.
Determine se a série convergente ou divergente.
b)
b)
Determine se a série convergente ou divergente.
d)
d)