Determine se a série convergente ou divergente.
f) summ=1^infty mm^2+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir se a série summ=1^infty mm^2+1 converge ou diverge. Pra resolver isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e testes de convergência, como o Teste da Comparação.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada geral na expressão da série: mm^2+1. Note que tanto o numerador quanto o denominador têm termos com m, então queremos simplificar para entender o comportamento dessa fração quando m fica bem grande.

Passo 3

Observando mm^2+1, quando m cresce, m^2 domina o denominador. Então, podemos aproximar a fração para valores grandes de m como mm^2 = 1m. Isso nos dá uma ideia de que a série se comporta de maneira semelhante à série summ=1^infty 1m, conhecida como série harmônica.

Passo 4

A série harmônica, summ=1^infty 1m, é famosa por ser divergente, ou seja, ela não tem uma soma finita. Para confirmar que nossa série original tem o mesmo comportamento, vamos usar o Teste da Comparação.

Passo 5

No Teste da Comparação, comparamos nossa série com uma série conhecida. Definimos:
bm = 1m
e
am = mm^2+1
Calculamos o limite:
limm to infty ambm = limm to infty mm^2+11m = limm to infty m^2m^2+1 = 1
Como o limite é uma constante positiva (1), o teste nos diz que ambas as séries têm o mesmo comportamento. Já que a série harmônica diverge, nossa série também diverge.

Resposta

A série summ=1^infty mm^2+1 é divergente.

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