Determine se a série convergente ou divergente.
f)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir se a série converge ou diverge. Pra resolver isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e testes de convergência, como o Teste da Comparação.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada geral na expressão da série: . Note que tanto o numerador quanto o denominador têm termos com , então queremos simplificar para entender o comportamento dessa fração quando fica bem grande.

Passo 3

Observando , quando cresce, domina o denominador. Então, podemos aproximar a fração para valores grandes de como . Isso nos dá uma ideia de que a série se comporta de maneira semelhante à série , conhecida como série harmônica.

Passo 4

A série harmônica, , é famosa por ser divergente, ou seja, ela não tem uma soma finita. Para confirmar que nossa série original tem o mesmo comportamento, vamos usar o Teste da Comparação.

Passo 5

No Teste da Comparação, comparamos nossa série com uma série conhecida. Definimos:
e
Calculamos o limite:
Como o limite é uma constante positiva (1), o teste nos diz que ambas as séries têm o mesmo comportamento. Já que a série harmônica diverge, nossa série também diverge.

Resposta

A série é divergente.

Exercícios relacionados

Determine se a série convergente ou divergente.
c)
Considere a sequência dada por:
Mostre que a sequência é limitada e crescente. Podemos admitir que ela seja convergente, em caso positivo determine .
Determine se a série convergente ou divergente.
b)
Determine se a série convergente ou divergente.
d)