Resolva os seguintes sistemas de equações diferenciais:
dx/dt = 3 e^(-t) dy/dt = x + y

Passo 1

Então, temos um sistema de equações diferenciais para resolver:
dx/dt = 3 e^(-t) dy/dt = x + y
Vamos usar o conteúdo de equações diferenciais e métodos de integração para encontrar as funções e .

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação para :
Essa é uma equação diferencial simples de primeira ordem que podemos resolver integrando ambos os lados em relação a .

Passo 3

Integrando ambos os lados:
Aqui, é a constante de integração que vamos determinar se tivermos condições iniciais.

Passo 4

Agora que temos , vamos resolver a equação para :
Substituímos na equação:
Isso nos dá uma equação diferencial linear para .

Passo 5

Para resolver, vamos rearranjar a equação:
Usamos um fator integrante para resolver essa equação linear.

Passo 6

O fator integrante é:
Multiplicamos toda a equação por :

Passo 7

A equação agora está na forma:
Integramos ambos os lados:

Passo 8

Integrando:
onde é outra constante de integração.

Passo 9

Finalmente, resolvemos para :
Podemos combinar as constantes e conforme necessário.

Resposta

As soluções do sistema são:
onde e são constantes de integração.

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