Resolva os seguintes sistemas de equações diferenciais:
Passo 1
Então, temos um sistema de equações diferenciais para resolver:
Vamos usar o conteúdo de equações diferenciais e métodos de integração para encontrar as funções
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação para
:
Essa é uma equação diferencial simples de primeira ordem que podemos resolver integrando ambos os lados em relação a
.
Passo 3
Integrando ambos os lados:
Aqui,
é a constante de integração que vamos determinar se tivermos condições iniciais.
Passo 4
Agora que temos
, vamos resolver a equação para
:
Substituímos
na equação:
Isso nos dá uma equação diferencial linear para
.
Passo 5
Para resolver, vamos rearranjar a equação:
Usamos um fator integrante para resolver essa equação linear.
Passo 6
O fator integrante é:
Multiplicamos toda a equação por
:
Passo 7
A equação agora está na forma:
Integramos ambos os lados:
Passo 8
Integrando:
onde
é outra constante de integração.
Passo 9
Finalmente, resolvemos para
:
Podemos combinar as constantes
e
conforme necessário.
Resposta
As soluções do sistema são:
onde
e
são constantes de integração.