Considere a sequência
definida por
Mostre que a sequência converge.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma sequência definida por uma integral:
O objetivo é mostrar que essa sequência converge. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre integrais impróprias e o teste de comparação para determinar se uma integral converge ou diverge.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que a sequência
converge. Isso quer dizer que, conforme
cresce, os valores de
se aproximam de um número fixo. No contexto das integrais, isso se traduz em mostrar que o limite da integral quando
tende ao infinito existe e é finito:
Passo 3
Para investigar esse limite, vamos analisar a função que está sendo integrada: . Sabemos que está sempre entre 0 e 1, já que o seno de qualquer ângulo nunca excede 1 em módulo. Portanto:
Passo 4
Agora, vamos aplicar o teste de comparação. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência de uma integral comparando-a com uma segunda integral que já sabemos se converge ou diverge.
Sabemos que:
é uma integral conhecida que converge. Ela é igual a:
Passo 5
Como para todo
, e a integral de
converge, pelo teste de comparação, a integral de também converge.
Resposta
Portanto, a sequência
definida por
converge.