Considere a sequência (an)n in N definida por
an=integral1^n sen^2 xx^2 d x
Mostre que a sequência converge.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma sequência definida por uma integral:
O objetivo é mostrar que essa sequência converge. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre integrais impróprias e o teste de comparação para determinar se uma integral converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que a sequência limn to infty integral1^n sen^2 xx^2 dx converge. Isso quer dizer que, conforme cresce, os valores de se aproximam de um número fixo. No contexto das integrais, isso se traduz em mostrar que o limite da integral quando tende ao infinito existe e é finito:

Passo 3

Para investigar esse limite, vamos analisar a função que está sendo integrada: . Sabemos que está sempre entre 0 e 1, já que o seno de qualquer ângulo nunca excede 1 em módulo. Portanto:

Passo 4

Agora, vamos aplicar o teste de comparação. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência de uma integral comparando-a com uma segunda integral que já sabemos se converge ou diverge.
Sabemos que:
integral1^infty 1x^2 dx
é uma integral conhecida que converge. Ela é igual a:
[ -1x ]1^infty = 0 - (-1) = 1

Passo 5

Como para todo , e a integral de converge, pelo teste de comparação, a integral de também converge.

Resposta

Portanto, a sequência an = integral1^n sen^2 xx^2 dx definida por
converge.

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