Considere a sequência definida por
Mostre que a sequência converge.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma sequência definida por uma integral:
O objetivo é mostrar que essa sequência converge. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre integrais impróprias e o teste de comparação para determinar se uma integral converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que a sequência converge. Isso quer dizer que, conforme cresce, os valores de se aproximam de um número fixo. No contexto das integrais, isso se traduz em mostrar que o limite da integral quando tende ao infinito existe e é finito:

Passo 3

Para investigar esse limite, vamos analisar a função que está sendo integrada: . Sabemos que está sempre entre 0 e 1, já que o seno de qualquer ângulo nunca excede 1 em módulo. Portanto:

Passo 4

Agora, vamos aplicar o teste de comparação. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência de uma integral comparando-a com uma segunda integral que já sabemos se converge ou diverge.
Sabemos que:
é uma integral conhecida que converge. Ela é igual a:

Passo 5

Como para todo , e a integral de converge, pelo teste de comparação, a integral de também converge.

Resposta

Portanto, a sequência definida por
converge.

Exercícios relacionados

Se você aceitar o fato de que a sequência converge para , então de acordo com nossa definição, para todo existe um natural , tal que , quando . Em cada parte, encontre o menor valor de para o valor de dado:
(a)
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
.
Investindo , 00 a uma taxa de juros de , capitalizados anualmente, depois de anos o montante será de
dólares.
Encontre os cinco primeiros termos da sequência .
Seja uma sequência definida pela seguinte recorrência:
(d) Prove que .