Se você aceitar o fato de que a sequência a_n = n / (n + 1) converge para L=1, então de acordo com nossa definição, para todo epsilon > 0 existe um natural n0 > 1, tal que |a_n - L| < epsilon, quando n ≥ n0. Em cada parte, encontre o menor valor de n0 para o valor de epsilon dado:
(a) epsilon = 0.25

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente está lidando com uma sequência chamada que se aproxima de . O que a gente precisa fazer aqui é encontrar o menor número natural que garante que a diferença entre e seja menor que . Para isso, vamos usar o conceito de limite de sequência, que ajuda a entender para onde uma sequência está se aproximando conforme cresce.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a definição do limite nos diz. Diz que para todo , existir um tal que, para todo , a diferença seja menor que . Aqui, é a precisão que a gente quer, ou seja, .

Passo 3

Vamos aplicar essa definição ao nosso caso. Queremos que:
Substituindo por , temos:

Passo 4

Simplificando a expressão dentro do valor absoluto:
Como estamos lidando com o valor absoluto, podemos ignorar o sinal negativo:

Passo 5

Agora, vamos resolver essa desigualdade para encontrar :
Multiplicando ambos os lados por e dividindo por :
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Ou seja, .

Passo 6

Como precisa ser um número natural (inteiro positivo), o menor valor que satisfaz essa condição é .

Resposta

O menor valor de é .

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