Se você aceitar o fato de que a sequência converge para , então de acordo com nossa definição, para todo existe um natural , tal que , quando . Em cada parte, encontre o menor valor de para o valor de dado:
(a)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente está lidando com uma sequência chamada que se aproxima de . O que a gente precisa fazer aqui é encontrar o menor número natural que garante que a diferença entre e seja menor que . Para isso, vamos usar o conceito de limite de sequência, que ajuda a entender para onde uma sequência está se aproximando conforme cresce.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a definição do limite nos diz. Diz que para todo , existir um tal que, para todo , a diferença seja menor que . Aqui, é a precisão que a gente quer, ou seja, .

Passo 3

Vamos aplicar essa definição ao nosso caso. Queremos que:
Substituindo por , temos:

Passo 4

Simplificando a expressão dentro do valor absoluto:
Como estamos lidando com o valor absoluto, podemos ignorar o sinal negativo:

Passo 5

Agora, vamos resolver essa desigualdade para encontrar :
Multiplicando ambos os lados por e dividindo por :
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Ou seja, .

Passo 6

Como precisa ser um número natural (inteiro positivo), o menor valor que satisfaz essa condição é .

Resposta

O menor valor de é .

Exercícios relacionados

Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
.
Utilizando o Teorema do Confronto, calcule os seguinte limites:
(a)
Considere a sequência definida por
Mostre que a sequência converge.
Investindo , 00 a uma taxa de juros de , capitalizados anualmente, depois de anos o montante será de
dólares.
Encontre os cinco primeiros termos da sequência .