Seja uma sequência definida pela seguinte recorrência:
(d) Prove que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá uma sequência definida por uma regra específica e pede para provar que o limite dessa sequência é . O conteúdo aqui envolve sequências e limites, e vamos precisar entender como uma sequência é definida por recorrência e como encontrar seu limite.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a sequência está sendo construída. A sequência começa com e, para cada termo seguinte, usamos a fórmula:
Isso significa que cada termo depende do termo anterior. Nosso objetivo é encontrar o valor para o qual essa sequência está se aproximando conforme aumenta.

Passo 3

A estratégia aqui é assumir que a sequência tem um limite. Vamos chamar esse limite de . Se a sequência realmente converge para , então tanto quanto vão se aproximar de quando tende ao infinito. Então, podemos substituir e por na fórmula da recorrência:

Passo 4

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar o valor de :

Passo 5

Encontramos que . Isso sugere que, se a sequência converge, ela converge para . Agora, precisamos confirmar que a sequência realmente converge.

Passo 6

Observamos que a fórmula de recorrência é uma função linear e pode ser reescrita como:
Essa forma nos ajuda a identificar que a sequência é monótona e limitada. Calculando alguns termos:
  • E assim por diante…
Vemos que os termos estão aumentando, mas se aproximando de . Como a sequência é crescente e limitada acima por , pelo Teorema do Convergente, ela realmente converge para esse limite.

Resposta

Portanto, provamos que .

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Investindo , 00 a uma taxa de juros de , capitalizados anualmente, depois de anos o montante será de
dólares.
Encontre os cinco primeiros termos da sequência .
Considere a sequência definida por
Mostre que a sequência converge.
Usando os teoremas acima e supondo que uma sequência é tal que , calcule os seguintes limites:
(e)
Usando os teoremas acima e supondo que uma sequência é tal que , calcule os seguintes limites:
(g)