Seja xn uma sequência definida pela seguinte recorrência:
c x1=1 xn+1=14(2 xn+3) forall n >= 1
(d) Prove que lim xn=32.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá uma sequência definida por uma regra específica e pede para provar que o limite dessa sequência é 32. O conteúdo aqui envolve sequências e limites, e vamos precisar entender como uma sequência é definida por recorrência e como encontrar seu limite.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a sequência está sendo construída. A sequência começa com x1 = 1 e, para cada termo seguinte, usamos a fórmula:
xn+1 = 14(2xn + 3)
Isso significa que cada termo depende do termo anterior. Nosso objetivo é encontrar o valor para o qual essa sequência está se aproximando conforme n aumenta.

Passo 3

A estratégia aqui é assumir que a sequência tem um limite. Vamos chamar esse limite de L. Se a sequência realmente converge para L, então tanto xn quanto xn+1 vão se aproximar de L quando n tende ao infinito. Então, podemos substituir xn e xn+1 por L na fórmula da recorrência:
L = 14(2L + 3)

Passo 4

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar o valor de L:
L = 14(2L + 3) Mu

Passo 5

Encontramos que L = 32. Isso sugere que, se a sequência converge, ela converge para 32. Agora, precisamos confirmar que a sequência realmente converge.

Passo 6

Observamos que a fórmula de recorrência é uma função linear e pode ser reescrita como:
xn+1 = 12xn + 34
Essa forma nos ajuda a identificar que a sequência é monótona e limitada. Calculando alguns termos:
  • x1 = 1
  • x2 = 14(2 cdot 1 + 3) = 54
  • x3 = 14(2 cdot 54 + 3) = 138
  • E assim por diante…
Vemos que os termos estão aumentando, mas se aproximando de 32. Como a sequência é crescente e limitada acima por 32, pelo Teorema do Convergente, ela realmente converge para esse limite.

Resposta

Portanto, provamos que lim xn = 32.

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