Seja
uma sequência definida pela seguinte recorrência:
(d) Prove que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos dá uma sequência definida por uma regra específica e pede para provar que o limite dessa sequência é
. O conteúdo aqui envolve sequências e limites, e vamos precisar entender como uma sequência é definida por recorrência e como encontrar seu limite.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a sequência está sendo construída. A sequência começa com
e, para cada termo seguinte, usamos a fórmula:
Isso significa que cada termo depende do termo anterior. Nosso objetivo é encontrar o valor para o qual essa sequência está se aproximando conforme
aumenta.
Passo 3
A estratégia aqui é assumir que a sequência tem um limite. Vamos chamar esse limite de
. Se a sequência realmente converge para
, então tanto
quanto
vão se aproximar de
quando
tende ao infinito. Então, podemos substituir
e
por
na fórmula da recorrência:
Passo 4
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar o valor de
:
Passo 5
Encontramos que
. Isso sugere que, se a sequência converge, ela converge para
. Agora, precisamos confirmar que a sequência realmente converge.
Passo 6
Observamos que a fórmula de recorrência é uma função linear e pode ser reescrita como:
Essa forma nos ajuda a identificar que a sequência é monótona e limitada. Calculando alguns termos:
-
-
-
- E assim por diante…
Vemos que os termos estão aumentando, mas se aproximando de
. Como a sequência é crescente e limitada acima por
, pelo Teorema do Convergente, ela realmente converge para esse limite.
Resposta
Portanto, provamos que
.