Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
an=sumk=1^n(1k-1k+1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma sequência definida por . Nosso objetivo é descobrir se essa sequência converge (isto é, tem um limite quando vai para o infinito) ou diverge (não tem limite). Para isso, vamos precisar usar conceitos de séries telescópicas, que facilitam a soma de termos que se cancelam.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma série telescópica. É uma série em que cada termo cancela parte do termo anterior ou seguinte, tornando a soma mais simples. Vamos expandir alguns termos da nossa sequência para ver esse padrão:
an = (11 - 12) + (12 - 13) + (13 - 14) + cdots + (1n - 1n+1)

Passo 3

Observamos que na soma acima, muitos termos se cancelam. Veja:
an = 11 - 12 + 12 - 13 + 13 - 14 + cdots + 1n - 1n+1
Os termos e se cancelam, assim como e , e assim por diante. Restam apenas o primeiro termo e o último termo que não se cancelam.

Passo 4

Então, a soma simplifica para:
an = 1 - 1n+1
Agora, para saber se a sequência converge, vamos calcular o limite quando limn to infty an = limn to infty (1 - 1n+1) = 1 - 0 = 1 tende ao infinito:

Resposta

A sequência converge e o seu limite é 1.

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