Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma sequência definida por
. Nosso objetivo é descobrir se essa sequência converge (isto é, tem um limite quando
vai para o infinito) ou diverge (não tem limite). Para isso, vamos precisar usar conceitos de séries telescópicas, que facilitam a soma de termos que se cancelam.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma série telescópica. É uma série em que cada termo cancela parte do termo anterior ou seguinte, tornando a soma mais simples. Vamos expandir alguns termos da nossa sequência para ver esse padrão:
Passo 3
Observamos que na soma acima, muitos termos se cancelam. Veja:
Os termos
e
se cancelam, assim como
e
, e assim por diante. Restam apenas o primeiro termo e o último termo que não se cancelam.
Passo 4
Então, a soma simplifica para:
Agora, para saber se a sequência converge, vamos calcular o limite quando
tende ao infinito:
Resposta
A sequência converge e o seu limite é 1.
Exercícios relacionados
Utilizando o Teorema do Confronto, calcule os seguinte limites:
(a)
(a)
Se
é um número real tal que
, mostre que
O que acontece se
ou
?
Se você aceitar o fato de que a sequência
converge para
, então de acordo com nossa definição, para todo
existe um natural
, tal que
, quando
. Em cada parte, encontre o menor valor de
para o valor de
dado:
(a)
(a)
Considere a sequência
definida por
Mostre que a sequência converge.