Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma sequência definida por . Nosso objetivo é descobrir se essa sequência converge (isto é, tem um limite quando vai para o infinito) ou diverge (não tem limite). Para isso, vamos precisar usar conceitos de séries telescópicas, que facilitam a soma de termos que se cancelam.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma série telescópica. É uma série em que cada termo cancela parte do termo anterior ou seguinte, tornando a soma mais simples. Vamos expandir alguns termos da nossa sequência para ver esse padrão:

Passo 3

Observamos que na soma acima, muitos termos se cancelam. Veja:
Os termos e se cancelam, assim como e , e assim por diante. Restam apenas o primeiro termo e o último termo que não se cancelam.

Passo 4

Então, a soma simplifica para:
Agora, para saber se a sequência converge, vamos calcular o limite quando tende ao infinito:

Resposta

A sequência converge e o seu limite é 1.

Exercícios relacionados

Utilizando o Teorema do Confronto, calcule os seguinte limites:
(a)
Se é um número real tal que , mostre que
O que acontece se ou ?
Se você aceitar o fato de que a sequência converge para , então de acordo com nossa definição, para todo existe um natural , tal que , quando . Em cada parte, encontre o menor valor de para o valor de dado:
(a)
Considere a sequência definida por
Mostre que a sequência converge.