Considere uma sequência
. Suponha que
.
$(b) $Se
, mostre que para
temos que
.
$(b) $Se
Passo 1
Vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma sequência
cujo limite, quando
tende ao infinito, é
. A parte (b) da questão nos diz que
e pede para mostrarmos que, a partir de um certo ponto na sequência (isto é, para
), todos os termos
são maiores que
. Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de limite de uma sequência e como ele nos ajuda a fazer afirmações sobre os termos da sequência a partir de certo ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa dizer que
. Isso quer dizer que, para qualquer número pequeno
, existe um número natural
tal que para todo
, a diferença entre
e
é menor que
. Em termos matemáticos:
Passo 3
Como sabemos que
, podemos escolher um
que nos ajude a relacionar
com
. Vamos definir
como a metade da diferença entre
e
:
Como
,
será um número positivo.
Passo 4
Agora, usando a definição de limite, sabemos que existe um
tal que para todo
:
Isso significa que:
Passo 5
Vamos focar na parte direita da desigualdade:
Adicionando
em ambos os lados:
Simplificando o lado direito:
Mas isso não nos ajuda diretamente, então vamos olhar para a parte esquerda da desigualdade original.
Passo 6
Considerando a parte esquerda:
Adicionando
em ambos os lados:
Simplificando:
Como
, então
. Portanto:
Resposta
Portanto, mostramos que para todo
,
.
Exercícios relacionados
Determine a derivada das funções envolvendo funções trigonométricas.
Determine as integrais a seguir:
Determine a derivada das funções envolvendo funções trigonométricas.
Decida sobre a convergência das sequências a seguir:
$(d) ;
$(d)