Considere uma sequência (an)n in N. Suponha que lim n infty an=a.
$(b) $Se (b) , mostre que para a>b temos que n>n0.

Passo 1

Vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma sequência cujo limite, quando tende ao infinito, é . A parte (b) da questão nos diz que e pede para mostrarmos que, a partir de um certo ponto na sequência (isto é, para ), todos os termos são maiores que . Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de limite de uma sequência e como ele nos ajuda a fazer afirmações sobre os termos da sequência a partir de certo ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa dizer que |an - a| < epsilon para todo n > n0 . Isso quer dizer que, para qualquer número pequeno , existe um número natural tal que para todo , a diferença entre e é menor que . Em termos matemáticos:

Passo 3

Como sabemos que epsilon = a - b2 , podemos escolher um que nos ajude a relacionar com . Vamos definir como a metade da diferença entre e :
Como , será um número positivo.

Passo 4

Agora, usando a definição de limite, sabemos que existe um |an - a| < a - b2 tal que para todo - a - b2 < an - a < a - b2 :
Isso significa que:

Passo 5

Vamos focar na parte direita da desigualdade:
an - a < a - b2
Adicionando an < a + a - b2 em ambos os lados:
a + a - b2 = 2a + a - b2 = 3a - b2
Simplificando o lado direito:
Mas isso não nos ajuda diretamente, então vamos olhar para a parte esquerda da desigualdade original.

Passo 6

Considerando a parte esquerda:
- a - b2 < an - a
Adicionando a - a - b2 < an em ambos os lados:
an > a - a - b2 = 2a - (a - b)2 = a + b2
Simplificando:
an > b
Como , então . Portanto:

Resposta

Portanto, mostramos que para todo , .

Exercícios relacionados

Determine a derivada das funções envolvendo funções trigonométricas.
y = x / (sen x + cos x)
Determine as integrais a seguir: integral 2 x cos (x^2+1) d x
Determine a derivada das funções envolvendo funções trigonométricas.
y = cossec(x) cot(x)
Decida sobre a convergência das sequências a seguir:
$(d) d;