Determine a derivada das funções envolvendo funções trigonométricas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar a derivada da função
. Isso envolve conhecimentos de derivadas de funções trigonométricas e como aplicar a regra do produto. Vamos precisar lembrar como derivar o cosseno, a secante e a cotangente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar quais são as derivadas das funções trigonométricas que vamos usar:
- A derivada da
é . - A derivada da
é .
Essas fórmulas vão nos ajudar a calcular a derivada da nossa função usando a regra do produto.
Passo 3
A nossa função é o produto de duas funções:
e
. Para derivar um produto de duas funções, usamos a regra do produto, que diz:
Onde
e
.
Passo 4
Vamos calcular cada parte da regra do produto:
- Derivada de
:
- Derivada de
:
Passo 5
Agora, aplicamos a regra do produto substituindo
,
,
e
:
Passo 6
Vamos simplificar cada termo:
- Primeiro termo:
- Segundo termo:
Passo 7
Juntando os dois termos simplificados:
Podemos fatorar
da expressão:
Resposta
A derivada da função
é:
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Considere uma sequência
. Suponha que
.
$(b) $Se , mostre que para
temos que
.
$(b) $Se
Determine a derivada das funções envolvendo funções trigonométricas.
Decida sobre a convergência das sequências a seguir:
$(d) ;
$(d)
Decida sobre a convergência das sequências a seguir:
$(b) ;
$(b)