Decida sobre a convergência das sequências a seguir:
$(d)
;
$(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente decidir se a sequência
converge ou não. Estamos trabalhando com sucessões e precisamos entender se, conforme
cresce, os termos da sequência se aproximam de algum número específico. Para resolver isso, vamos precisar calcular o limite dessa sequência quando
tende ao infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma sequência convergir. Uma sequência
converge para um número
se, conforme
fica cada vez maior, os valores de
ficam cada vez mais próximos de
.
No nosso caso, queremos encontrar:
Passo 3
Observamos que no numerador temos
, que cresce linearmente, e no denominador temos
, que cresce exponencialmente. Em geral, expressões exponenciais crescem muito mais rápido que polinomiais conforme
aumenta.
Passo 4
Para formalizar isso, podemos usar a Regra de L’Hôpital, que é útil para resolver limites do tipo
. A regra diz que:
Aplicando isso ao nosso limite:
Calculando as derivadas:
Então:
Passo 5
Agora, analisando o novo limite:
Perceba que
cresce muito rápido, então
também cresce rapidamente. Assim, conforme
tende ao infinito,
tende a zero.
Resposta
A sequência
converge para 0.
Exercícios relacionados
Determine a derivada das funções envolvendo funções trigonométricas.
Considere uma sequência
. Suponha que
.
$(b) $Se , mostre que para
temos que
.
$(b) $Se
Decida sobre a convergência das sequências a seguir:
$(b) ;
$(b)
Se uma lâmina ocupa uma região plana
e tem densidade
, escreva expressões para cada um dos seguintes itens em termos de integral dupla.
(a) A massa
(a) A massa