Decida sobre a convergência das sequências a seguir:
$(d) d;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente decidir se a sequência converge ou não. Estamos trabalhando com sucessões e precisamos entender se, conforme cresce, os termos da sequência se aproximam de algum número específico. Para resolver isso, vamos precisar calcular o limite dessa sequência quando tende ao infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma sequência convergir. Uma sequência converge para um número se, conforme fica cada vez maior, os valores de ficam cada vez mais próximos de .
No nosso caso, queremos encontrar:

Passo 3

Observamos que no numerador temos , que cresce linearmente, e no denominador temos , que cresce exponencialmente. Em geral, expressões exponenciais crescem muito mais rápido que polinomiais conforme aumenta.

Passo 4

Para formalizar isso, podemos usar a Regra de L’Hôpital, que é útil para resolver limites do tipo . A regra diz que:
Aplicando isso ao nosso limite:
Calculando as derivadas:
Então:

Passo 5

Agora, analisando o novo limite:
Perceba que cresce muito rápido, então também cresce rapidamente. Assim, conforme tende ao infinito, tende a zero.

Resposta

A sequência converge para 0.

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