Considere uma sequência . Suponha que .
$(a) $Se , mostre que para temos que ;

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma sequência que converge para um limite . A pergunta é: se , mostra que existe um ponto na sequência, chamado , a partir do qual todos os termos são menores que .
Estamos trabalhando com o conceito de limite de uma sequência, que é fundamental no cálculo. Para resolver isso, vamos precisar usar a definição formal de limite e algumas propriedades básicas de desigualdades.

Passo 2

Primeiro, vamos recordar a definição de limite de uma sequência. Dizemos que se, para qualquer número positivo , existe um número natural tal que, para todo , a diferença entre e é menor que . Em termos matemáticos:

Passo 3

Agora, queremos garantir que para . Como sabemos que , podemos definir a diferença entre eles como . Isso nos dá um “margem” para trabalhar.
Vamos escolher de forma que:
Assim, é positivo porque .

Passo 4

Aplicando a definição do limite com essa escolha de , sabemos que existe um tal que, para todo ,
Isso significa que está dentro de uma faixa de ao redor de .

Passo 5

Vamos destrinchar a desigualdade . Isso implica que:
Agora, somando em todas as partes da desigualdade:

Passo 6

Simplificando as duas partes da desigualdade:
Para a parte esquerda:
Para a parte direita:
Então, temos:

Passo 7

Observamos que , porque . Então, a parte direita da desigualdade nos dá:
Portanto, para todo , .

Resposta

Para todo , temos que .

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Dadas as sequências e . Se e , mostre que
Se uma lâmina ocupa uma região plana e tem densidade , escreva expressões para cada um dos seguintes itens em termos de integral dupla.
(a) A massa
Seja uma função densidade conjunta de um par de variáveis aleatórias e .
(a) Escreva uma integral dupla que represente a probabilidade de estar entre e e estar entre e .
Como definir se for uma região sólida limitada diferente de uma caixa retangular?