Considere uma sequência (an)n in N. Suponha que lim n infty an=a.
$(a) $Se (a) , mostre que para a temos que n>n0;

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma sequência que converge para um limite . A pergunta é: se , mostra que existe um ponto na sequência, chamado , a partir do qual todos os termos são menores que .
Estamos trabalhando com o conceito de limite de uma sequência, que é fundamental no cálculo. Para resolver isso, vamos precisar usar a definição formal de limite e algumas propriedades básicas de desigualdades.

Passo 2

Primeiro, vamos recordar a definição de limite de uma sequência. Dizemos que forall epsilon > 0, exists n0 in N tal que forall n > n0, |an - a| < epsilon se, para qualquer número positivo , existe um número natural tal que, para todo , a diferença entre e é menor que . Em termos matemáticos:

Passo 3

Agora, queremos garantir que epsilon = b - a2 para . Como sabemos que , podemos definir a diferença entre eles como . Isso nos dá um “margem” para trabalhar.
Vamos escolher de forma que:
Assim, é positivo porque .

Passo 4

Aplicando a definição do limite com essa escolha de |an - a| < b - a2 , sabemos que existe um tal que, para todo ,
Isso significa que está dentro de uma faixa de ao redor de .

Passo 5

Vamos destrinchar a desigualdade - b - a2 < an - a < b - a2 . Isso implica que:
a - b - a2 < an < a + b - a2
Agora, somando em todas as partes da desigualdade:

Passo 6

Simplificando as duas partes da desigualdade:
Para a parte esquerda:
a - b - a2 = 2a - b + a2 = 3a - b2
Para a parte direita:
a + b - a2 = 2a + b - a2 = a + b2
Então, temos:
3a - b2 < an < a + b2

Passo 7

Observamos que an < a + b2 < b , porque . Então, a parte direita da desigualdade nos dá:
Portanto, para todo , .

Resposta

Para todo , temos que .

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