Considere uma sequência
. Suponha que
.
$(a) $Se
, mostre que para
temos que
;
$(a) $Se
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma sequência
que converge para um limite
. A pergunta é: se
, mostra que existe um ponto na sequência, chamado
, a partir do qual todos os termos
são menores que
.
Estamos trabalhando com o conceito de limite de uma sequência, que é fundamental no cálculo. Para resolver isso, vamos precisar usar a definição formal de limite e algumas propriedades básicas de desigualdades.
Passo 2
Primeiro, vamos recordar a definição de limite de uma sequência. Dizemos que
se, para qualquer número positivo
, existe um número natural
tal que, para todo
, a diferença entre
e
é menor que
. Em termos matemáticos:
Passo 3
Agora, queremos garantir que
para
. Como sabemos que
, podemos definir a diferença entre eles como
. Isso nos dá um “margem” para trabalhar.
Vamos escolher
de forma que:
Assim,
é positivo porque
.
Passo 4
Aplicando a definição do limite com essa escolha de
, sabemos que existe um
tal que, para todo
,
Isso significa que
está dentro de uma faixa de
ao redor de
.
Passo 5
Vamos destrinchar a desigualdade
. Isso implica que:
Agora, somando
em todas as partes da desigualdade:
Passo 6
Simplificando as duas partes da desigualdade:
Para a parte esquerda:
Para a parte direita:
Então, temos:
Passo 7
Observamos que
, porque
. Então, a parte direita da desigualdade nos dá:
Portanto, para todo
,
.
Resposta
Para todo
, temos que
.
Exercícios relacionados
Dadas as sequências
e
. Se
e
, mostre que
Se uma lâmina ocupa uma região plana
e tem densidade
, escreva expressões para cada um dos seguintes itens em termos de integral dupla.
(a) A massa
(a) A massa
Seja
uma função densidade conjunta de um par de variáveis aleatórias
e
.
(a) Escreva uma integral dupla que represente a probabilidade de estar entre
e
e
estar entre
e
.
(a) Escreva uma integral dupla que represente a probabilidade de
Como definir
se
for uma região sólida limitada diferente de uma caixa retangular?