Seja
uma função densidade conjunta de um par de variáveis aleatórias
e
.
(a) Escreva uma integral dupla que represente a probabilidade de
estar entre
e
e
estar entre
e
.
(a) Escreva uma integral dupla que represente a probabilidade de
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função densidade conjunta
para as variáveis aleatórias
e
. O que a questão pede é para escrever uma integral dupla que calcula a probabilidade de
estar entre
e
e
estar entre
e
. Vamos precisar usar conceitos de cálculo integral e probabilidade, especificamente integrais duplas para funções de duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que a função densidade conjunta
descreve a probabilidade de
e
ocorrerem simultaneamente em determinados intervalos. Para encontrar a probabilidade de
estar entre
e
e
entre
e
, a gente precisa integrar essa função sobre esses intervalos.
Passo 3
A integral dupla vai somar todas as probabilidades infinitesimais
dentro dos limites definidos. Ou seja, para cada
entre
e
, a gente integra
de
a
.
Passo 4
Matematicamente, isso fica assim:
Essa expressão calcula exatamente a probabilidade que a gente quer.
Resposta
Exercícios relacionados
Considere uma sequência
. Suponha que
.
$(a) $Se , mostre que para
temos que
;
$(a) $Se
Dadas as sequências
e
. Se
e
, mostre que
Como definir
se
for uma região sólida limitada diferente de uma caixa retangular?