Seja f uma função densidade conjunta de um par de variáveis aleatórias X e Y.
(a) Escreva uma integral dupla que represente a probabilidade de X estar entre a e b e Y estar entre c e d.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função densidade conjunta para as variáveis aleatórias e . O que a questão pede é para escrever uma integral dupla que calcula a probabilidade de estar entre e e estar entre e . Vamos precisar usar conceitos de cálculo integral e probabilidade, especificamente integrais duplas para funções de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que a função densidade conjunta descreve a probabilidade de e ocorrerem simultaneamente em determinados intervalos. Para encontrar a probabilidade de estar entre e e entre e , a gente precisa integrar essa função sobre esses intervalos.

Passo 3

A integral dupla vai somar todas as probabilidades infinitesimais dentro dos limites definidos. Ou seja, para cada entre e , a gente integra de a .

Passo 4

Matematicamente, isso fica assim:
Essa expressão calcula exatamente a probabilidade que a gente quer.

Resposta

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