Como definir se for uma região sólida limitada diferente de uma caixa retangular?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pergunta como definir um integral triplo quando a região sólida não é uma caixa retangular. Isso envolve o conteúdo de cálculo multivariável, especificamente integrais múltiplas e mudanças de coordenadas. Para resolver, vamos precisar entender como descrever a região em termos de limites de integração apropriados para , e .

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que, quando a região não é uma caixa retangular, os limites das variáveis , e dependem umas das outras. Isso significa que, para configurar o integral triplo, devemos expressar cada variável em termos das outras.

Passo 3

Vamos identificar as funções que descrevem os limites de cada variável. Por exemplo, podemos ter variando de a , variando de a , e variando de a . Essas funções definem como a região está delimitada no espaço tridimensional.

Passo 4

Com esses limites definidos, podemos escrever o integral triplo como uma iteração de integrais simples. A ordem de integração pode variar (primeiro , depois , depois , ou qualquer outra sequência), dependendo da facilidade de cálculo.

Passo 5

Por exemplo, se decidirmos integrar primeiro em , depois em e por último em , o integral triplo fica:

Passo 6

Esse formato permite calcular o integral triplo em regiões mais complexas, adaptando os limites de integração às superfícies que limitam . É essencial visualizar ou ter uma boa descrição da região para estabelecer corretamente esses limites.

Resposta

Para uma região sólida não retangular, o integral triplo é definido como:

Exercícios relacionados

Seja uma função densidade conjunta de um par de variáveis aleatórias e .
(a) Escreva uma integral dupla que represente a probabilidade de estar entre e e estar entre e .
Considere uma sequência . Suponha que .
$(a) $Se , mostre que para temos que ;
é a curva circunferênca , percorrida no sentido horário.
Se os pontos e são colineares, então é igual a
(A) 8.
(B) 12 .
© 0 .
(D) 7.
(E) -3 .
(F) outro valor.