Como definir
se
for uma região sólida limitada diferente de uma caixa retangular?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pergunta como definir um integral triplo
quando a região sólida
não é uma caixa retangular. Isso envolve o conteúdo de cálculo multivariável, especificamente integrais múltiplas e mudanças de coordenadas. Para resolver, vamos precisar entender como descrever a região
em termos de limites de integração apropriados para
,
e
.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que, quando a região
não é uma caixa retangular, os limites das variáveis
,
e
dependem umas das outras. Isso significa que, para configurar o integral triplo, devemos expressar cada variável em termos das outras.
Passo 3
Vamos identificar as funções que descrevem os limites de cada variável. Por exemplo, podemos ter
variando de
a
,
variando de
a
, e
variando de
a
. Essas funções definem como a região
está delimitada no espaço tridimensional.
Passo 4
Com esses limites definidos, podemos escrever o integral triplo como uma iteração de integrais simples. A ordem de integração pode variar (primeiro
, depois
, depois
, ou qualquer outra sequência), dependendo da facilidade de cálculo.
Passo 5
Por exemplo, se decidirmos integrar primeiro em
, depois em
e por último em
, o integral triplo fica:
Passo 6
Esse formato permite calcular o integral triplo em regiões mais complexas, adaptando os limites de integração às superfícies que limitam
. É essencial visualizar ou ter uma boa descrição da região para estabelecer corretamente esses limites.
Resposta
Para uma região sólida
não retangular, o integral triplo
é definido como: