Como definir integral triplaE^B f(x, y, z) d V se E for uma região sólida limitada diferente de uma caixa retangular?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pergunta como definir um integral triplo quando a região sólida não é uma caixa retangular. Isso envolve o conteúdo de cálculo multivariável, especificamente integrais múltiplas e mudanças de coordenadas. Para resolver, vamos precisar entender como descrever a região em termos de limites de integração apropriados para , e .

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que, quando a região não é uma caixa retangular, os limites das variáveis , e dependem umas das outras. Isso significa que, para configurar o integral triplo, devemos expressar cada variável em termos das outras.

Passo 3

Vamos identificar as funções que descrevem os limites de cada variável. Por exemplo, podemos ter variando de a , variando de a , e variando de a . Essas funções definem como a região está delimitada no espaço tridimensional.

Passo 4

Com esses limites definidos, podemos escrever o integral triplo como uma iteração de integrais simples. A ordem de integração pode variar (primeiro , depois , depois , ou qualquer outra sequência), dependendo da facilidade de cálculo.

Passo 5

Por exemplo, se decidirmos integrar primeiro em integral triplaE^B f(x, y, z) , dV = integrala^b integralg1(x)^g2(x) integralh1(x, y)^h2(x, y) f(x, y, z) , dz , dy , dx , depois em e por último em , o integral triplo fica:

Passo 6

Esse formato permite calcular o integral triplo em regiões mais complexas, adaptando os limites de integração às superfícies que limitam . É essencial visualizar ou ter uma boa descrição da região para estabelecer corretamente esses limites.

Resposta

Para uma região sólida integral triplaE^B f(x, y, z) , dV = integrala^b integralg1(x)^g2(x) integralh1(x, y)^h2(x, y) f(x, y, z) , dz , dy , dx não retangular, o integral triplo é definido como:

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