Dadas as sequências e . Se e , mostre que

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui são duas sequências, e . A gente sabe que o valor absoluto de cada termo de é menor ou igual ao termo correspondente de , ou seja, . Além disso, sabemos que a sequência converge para 0 quando tende ao infinito. Nosso objetivo é mostrar que a sequência também converge para 0. Para isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e propriedades de desigualdades.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que se para todo , isso significa que os termos de estão “presa” entre e . Em outras palavras:
Isso é importante porque nos dá uma faixa dentro da qual os termos de estão contidos.

Passo 3

Agora, como sabemos que , isso implica que tanto quanto estão se aproximando de 0 conforme cresce. Então, temos:

Passo 4

Com as desigualdades estabelecidas no Passo 2 e os limites encontrados no Passo 3, podemos aplicar o Teorema do Confronto (ou Teorema do Aperto). Esse teorema diz que se uma sequência está limitada por duas sequências que convergem para o mesmo limite, então a sequência em questão também converge para esse limite.

Passo 5

Aplicando o Teorema do Confronto:
Portanto, a única possibilidade é que:

Resposta

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Se uma lâmina ocupa uma região plana e tem densidade , escreva expressões para cada um dos seguintes itens em termos de integral dupla.
(a) A massa
Decida sobre a convergência das sequências a seguir:
$(b) ;
Considere uma sequência . Suponha que .
$(a) $Se , mostre que para temos que ;
Seja uma função densidade conjunta de um par de variáveis aleatórias e .
(a) Escreva uma integral dupla que represente a probabilidade de estar entre e e estar entre e .