Dadas as sequências (an)n in N e (bn)n in N. Se |an| <= bn e lim n infty bn=0, mostre que
lim n infty an=0

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui são duas sequências, e . A gente sabe que o valor absoluto de cada termo de é menor ou igual ao termo correspondente de , ou seja, . Além disso, sabemos que a sequência converge para 0 quando tende ao infinito. Nosso objetivo é mostrar que a sequência também converge para 0. Para isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e propriedades de desigualdades.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que se -bn <= an <= bn para todo , isso significa que os termos de estão “presa” entre e . Em outras palavras:
Isso é importante porque nos dá uma faixa dentro da qual os termos de estão contidos.

Passo 3

Agora, como sabemos que limn to infty -bn = 0 e limn to infty bn = 0 , isso implica que tanto quanto estão se aproximando de 0 conforme cresce. Então, temos:

Passo 4

Com as desigualdades estabelecidas no Passo 2 e os limites encontrados no Passo 3, podemos aplicar o Teorema do Confronto (ou Teorema do Aperto). Esse teorema diz que se uma sequência está limitada por duas sequências que convergem para o mesmo limite, então a sequência em questão também converge para esse limite.

Passo 5

Aplicando o Teorema do Confronto:
limn to infty (-bn) = 0 <= limn to infty an <= limn to infty bn = 0
Portanto, a única possibilidade é que:
limn to infty an = 0

Resposta

limn to infty an = 0

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