Dadas as sequências
e
. Se
e
, mostre que
Passo 1
Beleza, então o que a gente tem aqui são duas sequências,
e
. A gente sabe que o valor absoluto de cada termo de
é menor ou igual ao termo correspondente de
, ou seja,
. Além disso, sabemos que a sequência
converge para 0 quando
tende ao infinito. Nosso objetivo é mostrar que a sequência
também converge para 0. Para isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e propriedades de desigualdades.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que se
para todo
, isso significa que os termos de
estão “presa” entre
e
. Em outras palavras:
Isso é importante porque nos dá uma faixa dentro da qual os termos de
estão contidos.
Passo 3
Agora, como sabemos que
, isso implica que tanto
quanto
estão se aproximando de 0 conforme
cresce. Então, temos:
Passo 4
Com as desigualdades estabelecidas no Passo 2 e os limites encontrados no Passo 3, podemos aplicar o Teorema do Confronto (ou Teorema do Aperto). Esse teorema diz que se uma sequência está limitada por duas sequências que convergem para o mesmo limite, então a sequência em questão também converge para esse limite.
Passo 5
Aplicando o Teorema do Confronto:
Portanto, a única possibilidade é que: