Se uma lâmina ocupa uma região plana D e tem densidade rho(x, y), escreva expressões para cada um dos seguintes itens em termos de integral dupla.
(a) A massa

Passo 1

Vamos entender o problema: queremos calcular a massa de uma lâmina que ocupa uma região plana , sabendo que a densidade em cada ponto é dada por . Para resolver isso, vamos usar integrais duplas, que nos ajudam a somar pequenas partes da massa em toda a região .

Passo 2

A massa de um objeto distribuído de maneira contínua pode ser calculada integrando a densidade sobre a região que ele ocupa. No nosso caso, a lâmina está na região e a densidade varia com e .

Passo 3

Vamos considerar uma pequena área diferencial em um ponto dentro da região . A massa dessa pequena área será .

Passo 4

Para encontrar a massa total da lâmina, somamos as massas dessas pequenas áreas em toda a região . Isso é feito através de uma integral dupla sobre .

Resposta

A massa é dada por

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