Se uma lâmina ocupa uma região plana
e tem densidade
, escreva expressões para cada um dos seguintes itens em termos de integral dupla.
(a) A massa
(a) A massa
Passo 1
Vamos entender o problema: queremos calcular a massa de uma lâmina que ocupa uma região plana
, sabendo que a densidade em cada ponto
é dada por
. Para resolver isso, vamos usar integrais duplas, que nos ajudam a somar pequenas partes da massa em toda a região
.
Passo 2
A massa de um objeto distribuído de maneira contínua pode ser calculada integrando a densidade sobre a região que ele ocupa. No nosso caso, a lâmina está na região
e a densidade varia com
e
.
Passo 3
Vamos considerar uma pequena área diferencial
em um ponto
dentro da região
. A massa dessa pequena área será
.
Passo 4
Para encontrar a massa total da lâmina, somamos as massas dessas pequenas áreas em toda a região
. Isso é feito através de uma integral dupla sobre
.
Resposta
A massa é dada por