Considere a sequência
an=raizn+1-raizn
Todas as afirmações estão corretas, exceto.
Escolha uma opção:
a.
lim n infty an=0
b. cresce ilimitadamente. c.
an
está definida para todo número natural. d.
an
é uma sequência decrescente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma sequência definida por . O assunto aqui é sucessões e vamos precisar entender limites, comportamento das sequências e algumas propriedades básicas delas para resolver essa questão.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar cada opção para ver qual delas está errada.
Opção a:
an = raizn+1 - raizn = (raizn+1 - raizn)(raizn+1 + raizn)raizn+1 + raizn = (n+1) - nraizn+1 + raizn = 1raizn+1 + raizn
Para encontrar o limite dessa sequência quando tende ao infinito, vamos simplificar .
Multiplicamos e dividimos por para racionalizar:
Quando vai para o infinito, cresce sem limite, então tende a 0. Portanto, a opção a está correta.
Opção b:
Cresce ilimitadamente.
Aqui a gente diz que cresce sem limite. Mas vimos que tende a 0 quando cresce, ou seja, na verdade, diminui. Então, dizer que cresce ilimitadamente está errado.
Opção c:
está definida para todo número natural.
Como a expressão faz sentido para todo natural (porque estamos sempre tirando a raiz de números positivos), essa afirmação está correta.
Opção d:
é uma sequência decrescente.
Já vimos que tende a 0 à medida que aumenta, o que significa que a sequência está diminuindo. Logo, essa afirmação está correta.

Resposta

A opção b. cresce ilimitadamente está incorreta.

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