Suponha
$$
a_{n}
b_{n}
\sum_{n=1}^{+\infty} a_{n}
a_{n} \geq b_{n}
\sum_{n=1}^{+\infty} b_{n}
\sum_{n=1}^{+\infty} a_{n}
a_{n} \leq b_{n}
\sum_{n=1}^{+\infty} b_{n}
\sum_{n=1}^{+\infty} a_{n}
\sum_{n=1}^{+\infty} b_{n}
\sum_{n=1}^{+\infty} a_{n}
a_{n} \geq b_{n}
\sum_{n=1}^{+\infty} b_{n}
$$
também será divergente.
também será divergente.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas séries com termos positivos,
e
, e queremos saber qual das afirmações sobre a convergência dessas séries é verdadeira. O conteúdo principal aqui é sobre Testes de Convergência de Séries, especificamente o Teste de Comparação. Para resolver, vamos precisar comparar os termos das duas séries e aplicar as regras desse teste.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona o Teste de Comparação para séries:
-
Teste de Comparação Direta: Se temos duas séries
e com termos positivos, e para todo , : - Se
converge, então também converge. - Se
diverge, então também diverge.
- Se
-
Teste de Comparação Limitada: Se o limite de
quando tende ao infinito é um número positivo e finito, então as duas séries ou convergem ou divergem juntas.
Passo 3
Vamos analisar cada opção usando o Teste de Comparação Direta:
Opção a:
“Se for convergente e
para todo
, então
também será convergente.”
“Se
Aqui, temos
. Pela regra do teste de comparação, se a série maior (
) converge, a série menor (
) também converge. Então, essa afirmação está correta.
Opção b:
“Se for convergente e
para todo
, então
também será convergente.”
“Se
Esta afirmação está incorreta. Se
e
converge, não podemos concluir que
também converge. Pode ser que
diverja.
Opção c:
“Se e
convergem, então elas são condicionalmente convergentes.”
“Se
Esta afirmação está incorreta. Duas séries convergirem não implica necessariamente que sejam condicionalmente convergentes. Condicionalmente convergente significa que a série converge, mas não absolutamente. Ambas podem convergir absolutamente ou uma pode convergir absolutamente e a outra condicionalmente.
Opção d:
“Se diverge e
para todo
, então
também será divergente.”
“Se
Esta afirmação está incorreta. Se
e
diverge, a série
pode tanto convergir quanto divergir. O teste de comparação direta não nos dá informação suficiente nesse caso.
Resposta
A opção correta é a a.