Suponha
$$
a_{n} an
b_{n} bnéãçã
\sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} sumn=1^+infty an
a_{n} \geq b_{n} an >= bnã
\sum_{n=1}^{+\infty} b_{n}
néá
\sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} sumn=1^+infty bn
a_{n} \leq b_{n} sumn=1^+infty anã
\sum_{n=1}^{+\infty} b_{n}
an <= bnéá
\sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} n
\sum_{n=1}^{+\infty} b_{n} sumn=1^+infty bn ãã
\sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} sumn=1^+infty an
a_{n} \geq b_{n} sumn=1^+infty bnã
\sum_{n=1}^{+\infty} b_{n}
$$
também será divergente.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas séries com termos positivos, e , e queremos saber qual das afirmações sobre a convergência dessas séries é verdadeira. O conteúdo principal aqui é sobre Testes de Convergência de Séries, especificamente o Teste de Comparação. Para resolver, vamos precisar comparar os termos das duas séries e aplicar as regras desse teste.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona o Teste de Comparação para séries:
  • Teste de Comparação Direta: Se temos duas séries e com termos positivos, e para todo , :
    • Se converge, então também converge.
    • Se diverge, então também diverge.
  • Teste de Comparação Limitada: Se o limite de quando tende ao infinito é um número positivo e finito, então as duas séries ou convergem ou divergem juntas.

Passo 3

Vamos analisar cada opção usando o Teste de Comparação Direta:
Opção a:
“Se for convergente e para todo , então também será convergente.”
Aqui, temos . Pela regra do teste de comparação, se a série maior ( ) converge, a série menor ( ) também converge. Então, essa afirmação está correta.
Opção b:
“Se for convergente e para todo , então também será convergente.”
Esta afirmação está incorreta. Se e converge, não podemos concluir que também converge. Pode ser que diverja.
Opção c:
“Se e convergem, então elas são condicionalmente convergentes.”
Esta afirmação está incorreta. Duas séries convergirem não implica necessariamente que sejam condicionalmente convergentes. Condicionalmente convergente significa que a série converge, mas não absolutamente. Ambas podem convergir absolutamente ou uma pode convergir absolutamente e a outra condicionalmente.
Opção d:
“Se diverge e para todo , então também será divergente.”
Esta afirmação está incorreta. Se e diverge, a série pode tanto convergir quanto divergir. O teste de comparação direta não nos dá informação suficiente nesse caso.

Resposta

A opção correta é a a.

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