Considere a série p - harmônica
sumn=1^infty 1n^p
É correto afirmar.
Escolha uma opção:
a. A sequência de somas parciais
sn=sumk=1^n 1k^p
é decrescente se
p>1
b. Se
p >= 1
a série converge. c. Se
p>1
a série converge e se
p <= 1
a série diverge. d. Se
p>1
a série diverge e se
p <= 1
a série converge.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a série p-harmônica, que é uma soma infinita da forma:
sumn=1^infty 1n^p
A gente precisa entender como essa série se comporta dependendo do valor de . Para isso, vamos precisar conhecer o teste da série p, que nos ajuda a determinar se a série converge (ou seja, tem um valor finito) ou diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o teste da série p. Esse teste diz o seguinte:
  • Se : A série p-harmônica converge. Isso significa que a soma das parcelas chega a um número finito.
  • Se : A série p-harmônica diverge. Ou seja, a soma das parcelas cresce sem limites e não chega a um valor finito.
Então, o comportamento da série depende diretamente do valor de .

Passo 3

Agora, vamos analisar as opções do exercício uma por uma usando o que aprendemos sobre o teste da série p.
Opção a:
A sequência de somas parciais
> sn=sumk=1^n 1k^p >
é decrescente se
> p>1 >
Na verdade, para > p >= 1 > , a sequência de somas parciais é crescente, porque estamos sempre adicionando termos positivos que fazem a soma aumentar. Então, essa opção está errada.
Opção b:
Se
> p>1 >
a série converge.
Já aqui, sabemos que se > p <= 1 > , a série é a famosa série harmônica, que diverge. Então, dizer que converge para > p>1 > também está errado.
Opção c:
Se
> p <= 1 >
a série converge e se
a série diverge.
Essa opção está alinhada com o teste da série p que discutimos. Ou seja, para a série converge, e para ela diverge. Portanto, essa opção está correta.
Opção d:
Se
a série diverge e se
a série converge.
Isso é o contrário do que sabemos pelo teste da série p. Então, essa opção está errada.

Resposta

A opção c é a correta.

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