Seja
um campo vetorial. Em caso afirmativo determine uma função potencial.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo vetorial dado por:
O desafio aqui é descobrir se esse campo é conservativo. Se for, a gente precisa encontrar uma função potencial
tal que
.
Para chegar lá, vamos precisar entender:
- Campos Vetoriais Conservativos: São aqueles que podem ser expressos como o gradiente de uma função escalar.
- Condição de Conservatividade: Certas igualdades entre derivadas parciais devem ser satisfeitas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa um campo vetorial ser conservativo. Um campo
é conservativo se existe uma função
tal que:
O que isso significa? Que as derivadas parciais de
satisfazem:
Passo 3
Mas nem todo campo vetorial é conservativo. Para o campo ser conservativo, ele precisa satisfazer algumas condições, conhecidas como condições de integrabilidade. No espaço tridimensional, as condições são:
Vamos verificar se essas igualdades são verdadeiras para o nosso campo
.
Passo 4
Vamos identificar as funções
do nosso campo:
Agora, calculamos as derivadas parciais:
Então,
, ok!
Agora:
Também,
, tudo certo!
Por último:
Novamente,
, perfeito!
Passo 5
Como todas as condições de integrabilidade foram satisfeitas, podemos concluir que o campo vetorial
é conservativo. Agora, precisamos encontrar a função potencial
tal que:
Ou seja:
Vamos integrar uma das equações e ir ajustando com as demais.
Passo 6
Começamos integrando
em relação a
:
Aqui,
é uma função que pode depender de
e
.
Passo 7
Agora, vamos usar a segunda equação:
.
Derivando
que já temos:
Igualando a
:
Isso significa que
não depende de
, ou seja,
, onde
é uma função de
somente.
Passo 8
Finalmente, usamos a terceira equação:
.
Derivando
:
Igualando a
:
Integrando em relação a
:
Onde
é uma constante de integração.
Resposta
Portanto, a função potencial é:
Exercícios relacionados
Determine a equação do plano tangente à superfície parametrizada
, no ponto
.
Seja
um campo vetorial. Calcule o rotacional do campo
.
Considere a série p - harmônica
É correto afirmar.
Escolha uma opção:
a. A sequência de somas parciais
Escolha uma opção:
a. A sequência de somas parciais
é decrescente se
b. Se
a série converge. c. Se
a série converge e se
a série diverge. d. Se
a série diverge e se
a série converge.
Considere a sequência
Todas as afirmações estão corretas, exceto.
Escolha uma opção:
a.
Escolha uma opção:
a.
b. cresce ilimitadamente. c.
está definida para todo número natural. d.
é uma sequência decrescente.