Seja f = y*z*i + x*z*j + (x*y + 1)*k um campo vetorial. Em caso afirmativo determine uma função potencial.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo vetorial dado por:
O desafio aqui é descobrir se esse campo é conservativo. Se for, a gente precisa encontrar uma função potencial tal que .
Para chegar lá, vamos precisar entender:
  • Campos Vetoriais Conservativos: São aqueles que podem ser expressos como o gradiente de uma função escalar.
  • Condição de Conservatividade: Certas igualdades entre derivadas parciais devem ser satisfeitas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa um campo vetorial ser conservativo. Um campo é conservativo se existe uma função tal que:
O que isso significa? Que as derivadas parciais de satisfazem:

Passo 3

Mas nem todo campo vetorial é conservativo. Para o campo ser conservativo, ele precisa satisfazer algumas condições, conhecidas como condições de integrabilidade. No espaço tridimensional, as condições são:
Vamos verificar se essas igualdades são verdadeiras para o nosso campo .

Passo 4

Vamos identificar as funções do nosso campo:
Agora, calculamos as derivadas parciais:
Então, , ok!
Agora:
Também, , tudo certo!
Por último:
Novamente, , perfeito!

Passo 5

Como todas as condições de integrabilidade foram satisfeitas, podemos concluir que o campo vetorial é conservativo. Agora, precisamos encontrar a função potencial tal que:
Ou seja:
Vamos integrar uma das equações e ir ajustando com as demais.

Passo 6

Começamos integrando em relação a :
Aqui, é uma função que pode depender de e .

Passo 7

Agora, vamos usar a segunda equação: .
Derivando que já temos:
Igualando a :
Isso significa que não depende de , ou seja, , onde é uma função de somente.

Passo 8

Finalmente, usamos a terceira equação: .
Derivando :
Igualando a :
Integrando em relação a :
Onde é uma constante de integração.

Resposta

Portanto, a função potencial é:

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Determine a equação do plano tangente à superfície parametrizada r(u, v) = (u^2, 2u sen(v), u cos(v)), no ponto P = r(1, pi / 4).
Seja f = y*z*i + x*z*j + (x*y + 1)*k um campo vetorial. Calcule o rotacional do campo f.
Considere a série p - harmônica
sumn=1^infty 1n^p
É correto afirmar.
Escolha uma opção:
a. A sequência de somas parciais
sn=sumk=1^n 1k^p
é decrescente se
p>1
b. Se
p >= 1
a série converge. c. Se
p>1
a série converge e se
p <= 1
a série diverge. d. Se
p>1
a série diverge e se
p <= 1
a série converge.
Considere a sequência
an=raizn+1-raizn
Todas as afirmações estão corretas, exceto.
Escolha uma opção:
a.
lim n infty an=0
b. cresce ilimitadamente. c.
an
está definida para todo número natural. d.
an
é uma sequência decrescente.