Sobre convergência de séries numéricas, é incorreto afirmar, exceto.
Escolha uma opção:
a. A série harmônica é convergente. b. Há casos de séries
sumn=1^+infty an
convergentes em que
an nrightarrow 0
c. Dizer que a série numérica
sumn=1^+infty an
é convergente é dizer que existe o limite s da sequência de somas parciais
sn=a1+a2+ldots an
Neste caso,
sumn=1^+infty an=s
d. Se
an 0
então a série
sumn=1^+infty an
é convergente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a convergência de séries numéricas e pede para identificar qual das afirmações está correta. A matéria envolvida aqui é o estudo das séries numéricas, mais especificamente a convergência delas. Para resolver, vamos analisar cada alternativa e ver qual está certa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma série numérica ser convergente. Uma série é dita convergente se a soma dos seus termos se aproxima de um valor finito à medida que adicionamos mais termos. Isso significa que a sequência das somas parciais tem um limite finito .

Passo 3

Agora, vamos analisar cada opção:
a. A série harmônica é convergente.
A série harmônica é dada por . Sabemos que a série harmônica é divergente, ou seja, não converge para um valor finito. Portanto, essa afirmação está incorreta.
b. Há casos de séries convergentes em que .
Para uma série ser convergente, é um requisito necessário que tenda a zero quando cresce. Se não tende a zero, a série não pode ser convergente. Portanto, essa afirmação também está incorreta.
c. Dizer que a série numérica é convergente é dizer que existe o limite da sequência de somas parciais . Neste caso, .
Essa é exatamente a definição de uma série convergente! Se a sequência das somas parciais tem um limite , então a série converge para . Portanto, essa afirmação está correta.
d. Se , então a série é convergente.
Embora seja necessário que tenda a zero para que a série possa convergir, isso não é suficiente para garantir a convergência. Existem séries onde mas a série diverge, como a série harmônica mencionada anteriormente. Portanto, essa afirmação está incorreta.

Resposta

A alternativa correta é a c.

Exercícios relacionados

Considere a sequência
an=raizn+1-raizn
Todas as afirmações estão corretas, exceto.
Escolha uma opção:
a.
lim n infty an=0
b. cresce ilimitadamente. c.
an
está definida para todo número natural. d.
an
é uma sequência decrescente.
Considere a série p - harmônica
sumn=1^infty 1n^p
É correto afirmar.
Escolha uma opção:
a. A sequência de somas parciais
sn=sumk=1^n 1k^p
é decrescente se
p>1
b. Se
p >= 1
a série converge. c. Se
p>1
a série converge e se
p <= 1
a série diverge. d. Se
p>1
a série diverge e se
p <= 1
a série converge.
Suponha
$$
a_{n} an
b_{n} bnéãçã
\sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} sumn=1^+infty an
a_{n} \geq b_{n} an >= bnã
\sum_{n=1}^{+\infty} b_{n}
néá
\sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} sumn=1^+infty bn
a_{n} \leq b_{n} sumn=1^+infty anã
\sum_{n=1}^{+\infty} b_{n}
an <= bnéá
\sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} n
\sum_{n=1}^{+\infty} b_{n} sumn=1^+infty bn ãã
\sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} sumn=1^+infty an
a_{n} \geq b_{n} sumn=1^+infty bnã
\sum_{n=1}^{+\infty} b_{n}
$$
também será divergente.
Considere a sequência
an=n^2+3 n-12 n^2+5
Podemos afirmar que
Escolha uma opção:
c .
lim n infty an=12