Sobre convergência de séries numéricas, é incorreto afirmar, exceto.
Escolha uma opção:
a. A série harmônica é convergente. b. Há casos de séries
convergentes em que
c. Dizer que a série numérica
é convergente é dizer que existe o limite s da sequência de somas parciais
Neste caso,
d. Se
então a série
é convergente.
Escolha uma opção:
a. A série harmônica é convergente. b. Há casos de séries
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a convergência de séries numéricas e pede para identificar qual das afirmações está correta. A matéria envolvida aqui é o estudo das séries numéricas, mais especificamente a convergência delas. Para resolver, vamos analisar cada alternativa e ver qual está certa.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma série numérica ser convergente. Uma série
é dita convergente se a soma dos seus termos se aproxima de um valor finito à medida que adicionamos mais termos. Isso significa que a sequência das somas parciais
tem um limite finito
.
Passo 3
Agora, vamos analisar cada opção:
a. A série harmônica é convergente.
A série harmônica é dada por
. Sabemos que a série harmônica é divergente, ou seja, não converge para um valor finito. Portanto, essa afirmação está incorreta.
b. Há casos de séries
convergentes em que
.
Para uma série ser convergente, é um requisito necessário que
tenda a zero quando
cresce. Se
não tende a zero, a série não pode ser convergente. Portanto, essa afirmação também está incorreta.
c. Dizer que a série numérica
é convergente é dizer que existe o limite
da sequência de somas parciais
. Neste caso,
.
Essa é exatamente a definição de uma série convergente! Se a sequência das somas parciais
tem um limite
, então a série
converge para
. Portanto, essa afirmação está correta.
d. Se
, então a série
é convergente.
Embora seja necessário que
tenda a zero para que a série possa convergir, isso não é suficiente para garantir a convergência. Existem séries onde
mas a série diverge, como a série harmônica mencionada anteriormente. Portanto, essa afirmação está incorreta.
Resposta
A alternativa correta é a c.
Exercícios relacionados
Considere a sequência
Todas as afirmações estão corretas, exceto.
Escolha uma opção:
a.
Escolha uma opção:
a.
b. cresce ilimitadamente. c.
está definida para todo número natural. d.
é uma sequência decrescente.
Considere a série p - harmônica
É correto afirmar.
Escolha uma opção:
a. A sequência de somas parciais
Escolha uma opção:
a. A sequência de somas parciais
é decrescente se
b. Se
a série converge. c. Se
a série converge e se
a série diverge. d. Se
a série diverge e se
a série converge.
Suponha
$$
a_{n}
b_{n}
\sum_{n=1}^{+\infty} a_{n}
a_{n} \geq b_{n}
\sum_{n=1}^{+\infty} b_{n}
\sum_{n=1}^{+\infty} a_{n}
a_{n} \leq b_{n}
\sum_{n=1}^{+\infty} b_{n}
\sum_{n=1}^{+\infty} a_{n}
\sum_{n=1}^{+\infty} b_{n}
\sum_{n=1}^{+\infty} a_{n}
a_{n} \geq b_{n}
\sum_{n=1}^{+\infty} b_{n}
$$
também será divergente.
também será divergente.
Considere a sequência
Podemos afirmar que
Escolha uma opção:
c .
Escolha uma opção:
c .