Considere a sequência
definida por
e
.
b) Mostre que
, para
.
b) Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente tem uma sequência definida assim:
e cada termo seguinte é
. O que a gente precisa mostrar é que a diferença dos quadrados de dois termos consecutivos dessa sequência satisfaz a seguinte igualdade:
Para resolver isso, vamos usar propriedades básicas de álgebra envolvendo potências e fatoração. Vamos lá passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Sabemos que
, então ao elevarmos ambos os lados ao quadrado, temos:
E sabemos que o quadrado da raiz quadrada cancela, então:
Passo 3
Agora, vamos calcular a diferença
usando o resultado que acabamos de encontrar:
Reorganizando os termos, temos:
Passo 4
O próximo passo é fatorar a expressão
. Para isso, vamos reescrever a expressão de forma que possamos identificar um fator comum:
Agora, vamos fatorar essa expressão quadrática. Buscamos dois números que, multiplicados, deem
(coeficiente de
vezes constante) e que, somados, deem
(coeficiente de
). Esses números são
e
.
Então, podemos escrever:
Simplificando os sinais:
Resposta
Portanto, mostramos que:
Exercícios relacionados
Resolva as seguintes Equações Diferenciais Exatas:
Determine as coordenadas do centróide dos seguintes sólidos:
(5.1) limitado pelo plano e pelo hemisfério
(Pode assumir o resultado para o volume da esfera e que a abcissa e a ordenada do centróide são iguais a 0 );
(5.1) limitado pelo plano
Prove as seguintes afirmações
Demonstrar que : se
então
e
, logo
.
Demonstrar que
Prove as seguintes afirmações
Se então
ou
, logo
.
Se