Considere a sequência {an}_{n ≥ 1} definida por a1 = raiz(2) e a_{n+1} = raiz(2 + a_n), n ≥ 1.
b) Mostre que (a_{n+1})^2 - (a_n)^2 = (2 - a_n)(1 + a_n), para n ≥ 1.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente tem uma sequência definida assim: e cada termo seguinte é . O que a gente precisa mostrar é que a diferença dos quadrados de dois termos consecutivos dessa sequência satisfaz a seguinte igualdade:
Para resolver isso, vamos usar propriedades básicas de álgebra envolvendo potências e fatoração. Vamos lá passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Sabemos que , então ao elevarmos ambos os lados ao quadrado, temos:
E sabemos que o quadrado da raiz quadrada cancela, então:

Passo 3

Agora, vamos calcular a diferença usando o resultado que acabamos de encontrar:
Reorganizando os termos, temos:

Passo 4

O próximo passo é fatorar a expressão . Para isso, vamos reescrever a expressão de forma que possamos identificar um fator comum:
Agora, vamos fatorar essa expressão quadrática. Buscamos dois números que, multiplicados, deem (coeficiente de vezes constante) e que, somados, deem (coeficiente de ). Esses números são e .
Então, podemos escrever:
Simplificando os sinais:

Resposta

Portanto, mostramos que:

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