Determine as coordenadas do centróide dos seguintes sólidos:
(5.1) limitado pelo plano e pelo hemisfério (Pode assumir o resultado para o volume da esfera e que a abcissa e a ordenada do centróide são iguais a 0 );
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar as coordenadas do centróide de um sólido limitado pelo plano e pelo hemisfério onde . O conteúdo principal aqui é o cálculo do centróide de um corpo tridimensional, especificamente de um hemisfério. Para resolver, vamos precisar usar fórmulas de integração para encontrar as coordenadas do centróide, especialmente a coordenada , já que, por simetria, as coordenadas e serão iguais a zero.
Passo 2
Primeiro, reconhecemos que devido à simetria do hemisfério em relação aos eixos e , as coordenadas e do centróide serão iguais a zero. Portanto, só precisamos encontrar a coordenada .
Passo 3
A coordenada do centróide de um sólido é dada pela fórmula:
onde é o volume do sólido. Para o hemisfério, vamos calcular primeiro o volume .
Passo 4
O volume de um hemisfério de raio é metade do volume de uma esfera completa. Sabemos que o volume de uma esfera é:
Portanto, o volume do hemisfério é:
Passo 5
Agora, precisamos calcular a integral . Vamos usar coordenadas esféricas para facilitar a integração, onde:
O elemento de volume em coordenadas esféricas é:
Como estamos trabalhando com um hemisfério, varia de a , de a (já que ), e de a .
Passo 6
Substituindo na integral, temos:
Simplificando os termos:
Passo 7
Calculando cada integral separadamente:
Integral em :
Integral em :
Integral em :
Passo 8
Multiplicando os resultados das integrais:
Passo 9
Agora, podemos encontrar usando a fórmula do centróide:
Resposta
As coordenadas do centróide do hemisfério são , e .