Determine as coordenadas do centróide dos seguintes sólidos:
(5.1) limitado pelo plano e pelo hemisfério (Pode assumir o resultado para o volume da esfera e que a abcissa e a ordenada do centróide são iguais a 0 );

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar as coordenadas do centróide de um sólido limitado pelo plano e pelo hemisfério onde . O conteúdo principal aqui é o cálculo do centróide de um corpo tridimensional, especificamente de um hemisfério. Para resolver, vamos precisar usar fórmulas de integração para encontrar as coordenadas do centróide, especialmente a coordenada , já que, por simetria, as coordenadas e serão iguais a zero.

Passo 2

Primeiro, reconhecemos que devido à simetria do hemisfério em relação aos eixos e , as coordenadas e do centróide serão iguais a zero. Portanto, só precisamos encontrar a coordenada .

Passo 3

A coordenada do centróide de um sólido é dada pela fórmula:
onde é o volume do sólido. Para o hemisfério, vamos calcular primeiro o volume .

Passo 4

O volume de um hemisfério de raio é metade do volume de uma esfera completa. Sabemos que o volume de uma esfera é:
Portanto, o volume do hemisfério é:

Passo 5

Agora, precisamos calcular a integral . Vamos usar coordenadas esféricas para facilitar a integração, onde:
O elemento de volume em coordenadas esféricas é:
Como estamos trabalhando com um hemisfério, varia de a , de a (já que ), e de a .

Passo 6

Substituindo na integral, temos:
Simplificando os termos:

Passo 7

Calculando cada integral separadamente:
  1. Integral em :
  1. Integral em :
  1. Integral em :

Passo 8

Multiplicando os resultados das integrais:

Passo 9

Agora, podemos encontrar usando a fórmula do centróide:

Resposta

As coordenadas do centróide do hemisfério são , e .

Exercícios relacionados

Para esses subconjuntos determine:
Dada a sequência na forma , encontrar nos seguintes casos:
a)
Resolva as seguintes Equações Diferenciais Exatas:
Considere a sequência definida por e .
b) Mostre que , para .