Resolva as seguintes Equações Diferenciais Exatas:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver a equação diferencial exata
. Aqui, estamos lidando com Equações Diferenciais Exatas, que são aquelas onde existe uma função
cujo diferencial é exatamente a expressão da equação. Para resolver, vamos identificar essa função
.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. Para isso, identificamos
e
. Uma equação diferencial da forma
é exata se as derivadas parciais
e
forem iguais.
Vamos calcular:
Como
, a equação é exata.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a função
tal que:
Primeiro, integramos
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
, já que a integração foi em relação a
.
Passo 4
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Comparando os termos, temos:
Integrando
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Agora, substituímos
na expressão de
:
Como estamos buscando a solução geral da equação diferencial exata, igualamos
a uma constante:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.