Resolva as seguintes Equações Diferenciais Exatas:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver a equação diferencial exata . Aqui, estamos lidando com Equações Diferenciais Exatas, que são aquelas onde existe uma função cujo diferencial é exatamente a expressão da equação. Para resolver, vamos identificar essa função .

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. Para isso, identificamos e . Uma equação diferencial da forma é exata se as derivadas parciais e forem iguais.
Vamos calcular:
Como , a equação é exata.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a função tal que:
Primeiro, integramos em relação a :
Aqui, é uma função que depende apenas de , já que a integração foi em relação a .

Passo 4

Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Comparando os termos, temos:
Integrando :
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Agora, substituímos na expressão de :
Como estamos buscando a solução geral da equação diferencial exata, igualamos a uma constante:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária.

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Determine as coordenadas do centróide dos seguintes sólidos:
(5.1) limitado pelo plano e pelo hemisfério (Pode assumir o resultado para o volume da esfera e que a abcissa e a ordenada do centróide são iguais a 0 );
Para esses subconjuntos determine:
Considere a sequência definida por e .
b) Mostre que , para .
Prove as seguintes afirmações
Demonstrar que : se então e , logo .